2013年高考理科数学试题(新课标2卷(含答案)

2013年全国卷新课标——数学理科
（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古）
本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 中所含元素的个数为
A. 3B. 6C. 8D. 10
【解析】选D.
法一：按 的值为1，2，3，4计数，共 个；
法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是 ，小的是 ，共 种选法.
2.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种
【解析】选A.
只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共 种安排方案.
3.下面是关于复数 的四个命题：
的共轭复数为 的虚部为
其中的真命题为
A. ， B. ， C. ， D. ，
【解析】选C.
经计算， .
4.设 是椭圆 的左右焦点， 为直线 上的一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为
A. B. C. D.
【解析】选C.
画图易得, 是底角为 的等腰三角形可得 ，即 , 所以 .
5.已知 为等比数列， ， ，则
A. B. C. D.
【解析】选D.
, , 或 , 成等比数列， .
6.如果执行右边的程序框图，输入正整数 和
实数 ，输出 ， ，则
A. 为 的和
B. 为 的算术平均数
C. 和 分别是 中最大的数和最小的数
D. 和 分别是 中最小的数和最大的数
【解析】选C.
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
【解析】选B.
由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，
.
8.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 ， ，两点， ，则的实轴长为
A. B. C. D.
【解析】选C.
易知点 在 上，得 ， .
9.已知 ，函数 在 单调递减，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【解析】选A.
由 得， ，
.
10.已知函数 ，则 的图像大致为
【解析】选B.
易知 对 恒成立，当且仅当 时，取等号.
11.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为1的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为
A. B. C. D.
【解析】选A.
易知点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的2倍.显然 是棱长为1的正四面体，其高为 ，故 ，
12.设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为
A. B. C. D.
【解析】选B.
与 互为反函数，曲线 与曲线 关于直线 对称，只需求曲线 上的点 到直线 距离的最小值的2倍即可.设点 ，点 到直线 距离 .
令 ，则 .由 得 ；由 得 ，故当 时， 取最小值 .所以 ， .
所以 .
二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.
13.已知向量 ， 夹角为 ，且 ， ，则 .
【解析】 .
由已知得，
，解得 .
14.设 满足约束条件 则 的取值范围为 .
【解析】 .
画出可行域，易知当直线 经过点 时， 取最小值 ；当直线 经过点 时， 取最大值3.故 的取值范围为 .
15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的
使用寿命（单位：小时）服从正态分布
，且各元件能否正常工作互相独立，
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
【解析】 .
由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为 ，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
16.数列 满足 ，则 的前60项和为 .
【解析】1830.
由 得，
……①
……②,
再由② ①得, ……③
由①得, …
…
由③得, …
所以, .
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边， .
(Ⅰ) 求 ；
(Ⅱ) 若 ， 的面积为 ，求 ， .
解：(Ⅰ)法一:由 及正弦定理可得
,
,
,
, ,
, ,
， ，
法二:由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 .
再由 可得， ，
即 ，
，即 ， ，
， ， ，
(Ⅱ) ， ， ，
， ， .
解得 .
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：枝， ）的函数解析式；
(Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n14151617181920
频数10201616151310
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（?）若花店一天购进16枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列、数学期望及方差；
（?）若花店一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
解：(Ⅰ) （ ）；
(Ⅱ) （?）若花店一天购进16枝玫瑰花， 的分布列为
607080
0.10.20.7
的数学期望 =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，
的方差 = 60-76 ×0.1+ 70-76 ×0.2+ 80-76 ×0.7=44.
（?）若花店一天购进17枝玫瑰花， 的分布列为
55657585
0.10.20.160.54
的数学期望 =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，
因为76.4 76，所以应购进17枝玫瑰花.
19. （本小题满分12分）
如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的中点，
(Ⅰ) 证明：
(Ⅱ) 求二面角 的大小.
(Ⅰ) 证明：设 ， 直三棱柱 ， ， ， ， .
又 ， ， 平面 .
平面 , .
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知， ， ，又已知 ， .
在 中， ， .
， .
法一：取 的中点 ，则易证 平面 ，连结 ，则 ，
已知 ， 平面 ， ，
是二面角 平面角.
在 中， ， .
即二面角 的大小为 .
法二：以点 为坐标原点，为 轴， 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系 .则 .
，设平面 的法向量为 ，
则 ,不妨令 ,得 ,故可取 .
同理,可求得平面 的一个法向量 .
设 与 的夹角为 ,则 , .
由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角 的大小为 .
20.（本小题满分12分）
设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 、 两点
(Ⅰ) 若 ， 面积为 ，求 的值及圆 的方程；
(Ⅱ)若 、 、 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 ， 的距离的比值.
解: (Ⅰ)由对称性可知, 为等腰直角三角形,斜边上的高为 ,斜边长 .
点 到准线 的距离 .
由 得, ,
.
圆 的方程为 .
(Ⅱ)由对称性,不妨设点 在第一象限,由已知得线段 是圆 的在直径,
, , ,代入抛物线 得 .
直线 的斜率为 .直线 的方程为 .
由 得 , .
由 得, .故直线 与抛物线 的切点坐标为 ,
直线 的方程为 .
所以坐标原点到 ， 的距离的比值为 .
21.（本小题满分12分）
已知函数 .
(Ⅰ) 求 的解析式及单调区间；
(Ⅱ) 若 ，求 的最大值
解: (Ⅰ) ,令 得, ,
再由 ,令 得 .
所以 的解析式为 .
,易知 是 上的增函数,且 .
所以
所以函数 的增区间为 ,减区间为 .
(Ⅱ) 若 恒成立,
即 恒成立，
,
(1)当 时, 恒成立, 为 上的增函数,且当 时, ,不合题意;
(2)当 时, 恒成立, 则 , ;
(3)当 时, 为增函数,由 得 ,
故
当 时, 取最小值 .
依题意有 ,
即 ,
, ,
令 ,则 ,
,
所以当 时, 取最大值 .
故当 时, 取最大值 .
综上, 若 ，则 的最大值为 .
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， ， 分别为 边 ， 的中点，直线 交 的
外接圆于 ， 两点.若 ，证明：
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
证明：(Ⅰ) ∵ ， 分别为 边 ， 的中点，
∴ .
, , 且 ，
又∵ 为 的中点， 且 ， .
， . .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ， ，
.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .正方形 的顶点都在 上，且 ， ， ， 依逆时针次序排列，点 的极坐标为 .
(Ⅰ)点 ， ， ， 的直角坐标；
(Ⅱ) 设 为 上任意一点，求 的取值范围.
解：(Ⅰ)依题意，点 ， ， ， 的极坐标分别为.
所以点 ， ， ， 的直角坐标分别为 、 、 、 ；
(Ⅱ) 设 ，则
.
所以 的取值范围为 .
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ) 当 时，求不等式 的解集；
(Ⅱ) 的解集包含 ，求 的取值范围.
解：(Ⅰ) 当 时，不等式
或 或
或 .
所以当 时，不等式 的解集为 或 .
(Ⅱ) 的解集包含 ，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以 ，即 .


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