注意全等三角形的构造方法

注意全等三角形的构造方法
搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．
1．截长补短法
例1．如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，
求证：AB+BE=AC．
解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，
由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45，
∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．
解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知
△ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45, ∴CG=EG,
∴AB+BE=AG+CG=AC．
2．平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．
例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ．
证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC
=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，
∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，
∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP
=AQ+OQ+BO=AQ+BQ．

说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，
构造全等三角形，即“截长补短法”．
⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，
则△ADO≌△ABO来解决．
②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，
交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．
③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，
则△APD≌△APC来解决．
④ 如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，
则△ABP≌△ADP来解决．
（本题作平行线的方法还很多，感兴趣
的同学自己研究）．


　3．旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
例3．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，
求∠APB的度数．
分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，
联想到构造直角三角形．
略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△ACD，连接PD，
则△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°，
又∵PC=5，PD +DC =PC 图（6）
∴△PDC为Rt△, ∠PDC=90∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90=150．
4．倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
例4．如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．
求证：AC=BF
证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD，
∠BDH=∠ADC，DH=DA，
∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，
∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= 图（7）
∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．
5．翻折法
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例5．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，
求：△ABC的面积．
解：以AB为轴将△ABD翻转180，得到与它全等
的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180，得到
与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证
四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG
=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3） +（x-2） =5 ．
解得x=6，则AD=6，∴S△ABC= ×5×6=15． 　　　　　 图（8）

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