2014-2015学年度5月调研考试
高二年级(理科)数学试卷
一、（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．如果函数 ，那么 ( ) （i是虚数单位）
A．－2i B．2i C．6i D．－6i
2. 若一个三角形能分割为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
3. 函数 在区间 上的值域为（ ）
A. [－2，0 ] B. [－4，1] C. [－4，0 ] D. [－2， 9]
4. 下列等于1的积分是（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，⊙O的直径 =6 c， 是 延长线上的一点，过 点作⊙O的切线，切点为 ，连接 ， 若 30°，PB的长为（ ）c.
A． B．
C．4 D．3
6．家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
7．将 的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的 ，则所得函数
的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示, 圆的内接 的 的平分线 延长后交圆于点 , 连接 ,
已知 , 则线段 ( )
A． B．
C． D．4
9. 用数学归纳法证明：1+ + + 时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
10．在极坐标系中，圆 与方程 （ ）所表示的图形的交点的极坐标是
( )．
A. B. C. D.
11. AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则 ( )．
A. B．3 C． D．2
12．函数f(x)＝sinx＋2x ， 为f(x)的导函数，令a＝－ 12，b＝log32，则下列关系正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)
第Ⅱ卷（共90分）
二、题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．若 ，复数(22-3-2)+(2-3+2) 表示纯虚数的充要条件是 .
14．定积分 =___________．
15．把极坐标系中的方程 化为
直角坐标形式下的方程为 .
16．如右图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O，
弦 CD 交 PA 于点F，且△COF∽△PDF，
PB = OA = 2，则PF = .
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴。
已知曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的参数方程为
（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）当曲线 和曲线 没有公共点时，求 的取值范围。
18. (本题满分12分)
如图， 点在圆 直径 的延长线上， 切圆 于 点，
的平分线 交 于点 ，交 于 点．
（I）求 的度数；
（II）当 时，求证： ∽ ,并求相似比 的值.
19. (本题满分12分)
二次函数 ，又 的图像与 轴有且仅有一个公共点，且 ．
（1）求 的表达式．
（2）若直线 把 的图象与 轴所围成的图形的面积二等分，求 的值．
20. （本题满分12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:
①输入1时，输出结果是 ；
②输入整数 时，输出结果 是将前一结果 先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）求f(2),f(3),f(4);
（2） 试由（1）推测f(n)（其中 ）的表达式，并给出证明.
21.（本题满分12分）
如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C， 于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF。
（1）求证：B,C,E,D四点共圆；
（2）当AB=12， 时，求圆O的半径.
22.(本题满分12分)
已知函数 , 为实数， .
（Ⅰ）若 在区间 上的最小值、最大值分别为 、1，求 、 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点 且与曲线 相切的直线 的方程；
（Ⅲ）设函数 ，试判断函数 的极值点个数．
2014-2015学年度5月调研考试
高二年级(理科)数学 参考答案
1~12. DBCCD BBBAC AA 13. 14. 15. 16. 3
17. 解析：（1）由 得
所以 ，即曲线 ：
曲线 …………………………………4分
………………………………8分
………………………………………10分
18. （I） AC为圆O的切线,∴
又知DC是 的平分线, ∴ ……………………………………3分
∴ 即 又因为BE为圆O的直径,
∴ ∴ ……………………………………….6分
（II） , ,∴ ∽ ……….………8分
∴ ,又 AB=AC, ∴ , ………10分
∴在RT△ABE中, ……………………………………….12分
19. 解析：（1） ………………………….3分
（2） 与 轴交点（0，0）、（1，0） ……………………………6分
……………………………….9分
……………………………….12分
20. 解：由题设条件知f(1)= , = ,
;
;
. ………………………………3分
(2)猜想： （其中 ）……………………5分
以下用数学归纳法证明：
（1）当 时， ，
所以此时猜想成立。 ………………………………6分
（2）假设 时， 成立
那么 时，
……………9分
所以 时，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想： （其中 ）成立。
…………………………12分
21. 解：（1）由切割线定理
由已知易得 ∽ ，所以
所以 = 又 为公共角，所以 ∽ ，…………3分
所以，
所以，B,C,E,D四点共圆 ……………………………………….4分
（2）作 于 ，由（1）知
，
在 中，
所以，圆O的半径 。 ……………………………….12分
22.解：（Ⅰ）由 ，得 ， ．
∵ ， ，
∴ 当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减．
∴ 在区间 上的最大值为 ，∴ ．……………………2分
又 ， ，∴ ．
由题意得 ，即 ，得 ．
故 ， 为所求． ………………………………4分
（Ⅱ）解：由（1）得 ， ，点 在曲线 上．
⑴ 当切点为 时，切线 的斜率 ，
∴ 的方程为 ，即 ． ……………………5分
⑵当切点 不是切点时，设切点为 ，
切线 的斜率 ，
∴ 的方程为 ．
又点 在 上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ．
∴ 切线 的方程为 ．
故所求切线 的方程为 或 ． ………………………………8分
（Ⅲ）解： ．
∴ ．
二次函数 的判别式为
，
令 ，得：
令 ，得 ………………………………10分
∵ ， ，
∴当 时， ，函数 为单调递增，极值点个数为0；
当 时，此时方程 有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
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