点到直线的距离

（一）目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课
概念形成1．点到直线距离公式
点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C = 0的距离为

推导过程
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为 (A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出PQ，得到点P到直线l的距离为d.

此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法.（1）教师提出问题
已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？
学生自由讨论
（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，
由
得
所以


由三角形面积公式可知d?RS=PR?PS.
所以
可证明，当A = 0时仍适用.
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.
应用举例例1 求点P = (?1，2 )到直线3x = 2的距离.
解：
例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C(?1，0)，求三角形ABC的面积. 学生分析求解，老师板书
例2 解：设AB边上的高为h，则

AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在直线方程为
即x + y ? 4 = 0.
点C到x + y ? 4 = 0的距离为h
，
因此，
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
概念深化2．两平行线间的距离d
已知l1：Ax + By + C1 = 0
l2：Ax + By + C2 = 0

证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为
.
又Ax0 + By0 + C2 = 0
即Ax0 + By0= ?C2，
∴ 教师提问：
能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？
学生交流后回答.
再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.
应用举例例3 求两平行线
l1：2x + 3y ? 8 = 0
l2：2x + 3y ? 10 =0的距离.
解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

解法二：直接由公式

课堂练习：已知一直线被两平行线3x + 4y ? 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程. 在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.
归纳总结 小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.老师和学生共同总结——交流——完善培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.
课后作业布置作业
见习案3.3的第三课时独立完成巩固深化
备选例题
例1 求过点M(?2，1)且与A(?1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.
解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = ?2，它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为：y ? 1 = k(x + 2)即kx ? y + 2k + 1 = 0.
由 ，
解得k = 0或 .
故所求的直线方程为y ? 1 = 0或x + 2y = 0.
解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且 ，则l的方程为x + 2y = 0.
若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1.
所以所求直线方程为y ? 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x + 4y ? 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程.
【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0
由P点到两直线的距离相等，即
，所以C = ?38.
所求直线的方程为2x + 11y ? 38 = 0.
（2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0.
则它到直线6x + 8y ? 2 = 0的距离 ，
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
所以d1 = d2即 ，所以 .
即l的方程为： .
例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y ? 6 = 0上，顶点A的坐标是(1，?2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为 ，因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为 ，从而方程
即3x ? 2y ? 7 = 0
又点A(1，?2)到直线BC：2x + 3y ? 6 = 0的距离为 ，
且 .
由于点B在直线2x + 3y ? 6 = 0上，可设 ，
且点B到直线AC的距离为

所以 或 ，所以 或
所以 或
所以直线AB的方程为 或
即x ? 5y ? 11 = 0或5x + y ? 3 = 0

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