指数与指数幂的运算

[课题]
授课地点：佛冈中学高一（21）班
授课教师：
授课时间：
听课教师：高一级数学备课组
[目标]
1.知识与技能：理解根式的概念，掌握n次方根的性质
2.过程与方法：
（1）.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.
（2）引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.
（3）通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力
3.情感态度与价值观：
（1）.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清 基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
（2）在过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面。
[教学重点与难点]：
1. 重点：1.根式的概念.。2.n次方根的性质。
2.难点：1.根式概念的理解。2.n次方根性质的理解。
[教学方法与手段]
1.教学方法：启发式、探究式教学
2.教学手段：运用多媒体教学
[教学过程]
一、创设情景，引入新课
师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？
生：对生物体化石 的研究.
师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?
（众生摇头）
师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.
问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：
当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
生： ，（ ）2，（ ）3，….
师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
生：（ ） ，（ ） ，（ ） .
师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?
生：P=（ ） .
师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值.那么这些数（ ） ，（ ） ，（ ） 的意义究竟 是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?
生：这里的指数是分数的形式.
师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?
生：自然数??整数??分数（有理数）??实数.
师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P=（ ） 就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数??“指数函 数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有 理数指数幂）、无理数指数幂.
（引入课题，书写课题??指数与指数幂的运算）
二、讲解新课
（一）探求n次方根的概念
师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?
生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.
师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什 么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?
生：125是5的立方数，5是125的立方根.
师：如果x2=a，那么x对于a来说扮演着什么角色？
生：x是a的平方根.
师：能否用一句话描述你的结论？
生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？
生 ：x是a的立方根.
师：能换一种说法表述你的结论吗？
生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.
师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？
生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.
师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫 做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？
生：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.
师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？
（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根（n?throot），其中n＞1，且n∈N*.
（二）概念理解
课堂训练：
试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.
（多媒体显示，生完成）
（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；
（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.
（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）
方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足xn=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.
（三）n次方根的性质
合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？
（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）
1.以上各数的对应方根都是有理数；
2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；
3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.
师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？
（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）
生甲：一个数的奇次方根只有一个.
生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.
师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？
生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.
师：你能否把你所得到的结论再叙述的 具体一些呢？
（组织学生交流，得出以下结论）
n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号 表示.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－ 表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成± （a＞0）.
注：①负数没有偶次方根；
②0的任何次方根都是0，记作 =0；
③当a≥0时， ≥0，所以类似 =±2的写法是错误的.
（四）根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
例如 叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.
（五）n次方根的运算性质
求下列各式的值：
（1）（ ）2；（2） ；（3） ；（4） （a＞3）.
（生板演，师组织学生评析）
解：（1）（ ）2=5；（2） =－2；（3） =－2=2；（4） =
3－a=a－3.
师：上面的例题中涉及了哪几类问题?
生：主要涉及了（ ）n与 的问题.
合作探究：（1）（ ）n的含义是什么？其化简结果是什么呢？
（2） 的含义是什么？其化简结果是什么呢？
（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）
（1）（ ）n=a.例如，（ ）3=27，（ ）5=－ 32.
（2）当n是奇数时， =a；当n是偶数时， =a= 例如， =－2， =2； =3， =－3=3.
（六）例题讲解
（生板演，师组织学生进行课堂评价）
【例1】求下列各式的值：
（1）（ ）3；（2） ；（3） ；（4） （a＞b）.
解：（1） （ ）3=－8；（2） =10；
（3） =π－3；（4） =a－b=a－b.
【例2】化简下列各式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .
解：（1） = = = ；（2） = = ；
（3） =－ =－ ；（4） = =x2；
（5） = = .
三、课堂练习
1.若x∈ R，y∈R，下列各式中正确的是
A. =x+y B. － =x－y
C. + =2xD. + =0
2. = 成立的条件是
A. ≥0B.x≠1C.x＜1D.x≥2
3.在① ；② ；③ ；④ （各式中n∈N，a∈R）中，有意义的是
A.①②B.①③C.①②③④D.①③④
4.当8＜x＜10时， － =________.
参考答案：
1.D2.D3.B4.2x－18
四、课堂小结
师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.
（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）
1.若xn=a（n＞1，n∈N*），则x叫做a的n次方根.当n是奇数时，实数a的n次方根用符号 表示；当n是偶数时，正数a的n次方根用符号± 表示，负数的偶次方根无意义.式 子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.
3.（1）（ ）n=a.
（2）当n为奇数时， =a；当n为偶数时， =a=
五、布置作业
（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；
（二）书面作业：课本P69习题2.1A组第1题.
板书设计
2.1.1指数与指数幂的运算（1）
一、基本概念和性质
1.n次方根的定义
2.n次方根的性质
3.根式的定义
4.n次方根的运算性质
二、例题解析即学生训练板演
例1.求下列各式的值

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