第十二章　轴对称

第十二章　轴对称
本章小结
小结1 本章概述
本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定．
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容．本章内容是上一章内容的继续．又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要．本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】
1．轴对称的概念和性质和判定．
2．等腰(或等边)三角形的性质和判定．
【本章难点】1．利用轴对称的性质进行图案设计．
2．书写推理证明过程．
小结3 学法指导
1．注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程．
2．注意知识间的联系．图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系．
3．注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用．
知识网络结构图

专题总结及应用
　　一、知识性专题
专题1　轴对称及轴对称图形
【专题解读】　此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质．
例1 如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为 ( )

分析　本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形．故选C．
规律?方法　判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合．
专题2　利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案
【专题解读】 利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．
例2　如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．
解：如图12－114②所示．
【解题策略】 先作出特殊点的对称点，然后连接即可．
专题3　等腰三角形的性质和判定
【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查．
例3　如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．
分析　本题综合考查等腰三角形的性质和判定．由于AB＝AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题．
证明：连接BC，
　　　∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等边对等角)．
　　　 又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．
　　　 ∴BF＝CF(等角对等边)．
【解题策略】 本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF＝CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦．
专题4 等边三角形的性质和判定
【专题解读】　等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．
例4　如图12－116所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，若将△ADC沿直线AD折叠，则C点落在点E的位置上，求BE的长．
分析　本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质．
解：由折叠得∠ADE＝∠ADC＝60°，CD＝DE．
　　 又∵BD＝DC，∴DE＝BD．
　　 ∵∠ADE＝∠ADC＝60°，
　　 ∴∠BDE＝180°－60°－60°＝60°．
　　 ∴△BDE为等边三角形．
　　 ∴BE＝BD＝ BC＝2．
【解题策略】　本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法．
专题5 含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用
【专题解读】 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系．
例5　如图12－117所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D．求证BE＝3AD．
分析　本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．
　　　又∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
　　　∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°．
　　　 ∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝120°－90°＝30°．∴∠B＝∠BAD．
　　　 ∴BD＝AD(等角对等边)．
　　　在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD．
　　　∴BC＝BD＋CD＝AD＋2AD＝3AD．
　　二、规律方法专题
　　专题6　正确作辅助线解决问题
【专题解读】 本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论．
例6　如图12－118所示，∠B＝90°，AD＝AB＝BC，DE⊥AC．求证BF＝DC．
证明：连接AE．
　　　∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°．
　　　又∵∠B＝90°．
　　　 ∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE＝ED．
　 ∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C．
又∵∠B＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°．
∴∠C＝45°．
∵∠EDC＝90°，∴∠C＝∠DEC＝45°．
∴DE＝DC，∴BE＝DC．
例7　如图12－119所示，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于G．求证EG＝FG．
证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，
则∠EMB＝∠ACB，∠MEG＝∠F．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠EMB，∴EB＝EM．
又∵BE＝CF，∴EM＝FC．
在△MEG和△CFG中，

∴△MEG≌△CFG(AAS)．
∴EG＝FG．
　　三、思想方法专题
专题7　分类讨论思想
【专题解读】　本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．
例8　已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13 cm和15 cm两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．
分析 这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13 cm和15 cm两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可．
解：如图12－120所示，AB＝AC，D为AC的中点，
所以AD＝CD，
由题意知 或
解得AB＝AC＝ ，BC＝ 或AB＝AC＝10，BC＝8．
即此等腰三角形的腰长与底边长分别为 cm， cm或10 cm，8 cm．
规律?方法　本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形．也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整．
专题8　数形结合思想
【专题解读】　数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．
例9 (开放题) 如图12－121所示，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需添加的条件是 　　．
分析 从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外还可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．
例10 (探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个?
分析　以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况．

解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况．当O作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形． (2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形．
所以这样的等腰三角形能画4个．如图12－123所示．
例11 (动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．
分析　在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形．
解：如图12－124②③④⑤所示均符合要求．

2011中考真题精选
1. （2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解，只要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，既是轴对称图形．
解答：解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形．
故选：D．
点评：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. （2011?南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析
解答：解：A项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，C项为中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确，
D项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误故答案选择C．
点评：本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义
3. （2011江苏无锡，6，3分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形。
专题：数形结合。
分析：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
解答：解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故不符合题意；
D、图象关于对角线所在的直线不对称；故符合题意；
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4. （2011山西，6，2分）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）

考点：轴对称
专题：操作题 图形变换
分析：由图案的对称性进行想象，或动手操作一下都可．
解答：A
点评：动手折一折，动脑想一想．不难得出答案．
5. （2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角 ②平行四边形 ③扇形 ④正方形，其中轴对称图形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
6.（2011?台湾4，4分）下列有一面国旗是轴对称图形，根据选项中的图形，判断此国旗为何（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：轴对称图形。
专题：常规题型。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查轴对称图形，注意掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7. （2011?台湾26，4分）如图1，将某四边形纸片ABCD的AB向BC方向折过去（其中AB＜BC），使得A点落在BC上，展开后出现折线BD，如图2．将B点折向D，使得B、D两点重迭，如图3，展开后出现折线CE，如图4．根据图4，判断下列关系何者正确？（　　）

A、AD∥BCB、AB∥CD
C、∠ADB=∠BDCD、∠ADB＞∠BDC
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：操作型。
分析：由A点落在BC上，折线为BD，根据折叠的性质得到∠ABD=∠CBD，又B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，再根据折叠的性质得到CD=CB，然后转化为角相等，这样就有∠ABD=∠CDB，根据平行线的判定定理即可得到B正确．
解答：解：∵A点落在BC上，折线为BD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，即选项B正确．
故选B．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠后重叠的两部分图形全等．也考查了动手能力和空间想象能力．
8. （2011湖北荆州，2，3分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4 考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的定义1得出，图形沿一条直线对着，分成的两部分完全重合及是轴对称图形，分别判断得出即可．
解答：解：根据图象，以及轴对称图形的定义可得，
第1，2，4个图形是轴对称图形，第3个是中心对称图形，
故选：C．
点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形形状是解决问题的关键．
9.（2011?柳州）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（　　）
A、三角形B、四边形
C、五边形D、正六边形
考点：轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答：解：只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
10. （2011?郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
11. （2011山东青岛，4，3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．
点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
12. （2011泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（　　）

A． B． C． D．6
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC＝CD，BE＝DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3 ，
在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3 －x，
AE2＝AO2＋OE2，即（3 －x）2＝（3 ）2＋32，解得x＝ ，
∴AE＝EC＝3 － ＝2 ．
故选A．
点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13. （2011山东省潍坊， 4，3分）如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑．得到新的图形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是( )

【考点】轴对称图形．
【分析】本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
【解答】解：A∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
C、∵绕某一点旋转180°以后，能够与原图形重合
∴它是轴对称图形
D、根据轴对称定义
它不是轴对称图形
故选D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键．
2011四川达州，2，3分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
解答：解：A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
点评：本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
14. （2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角 ②平行四边形 ③扇形 ④正方形，其中轴对称图形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
15. 2011四川泸州，11，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（　　）
A. B. －5 C.10－ D.5+
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，设所求的EC为x，则CD=0.5x，BD=BE= x，根据BC=5列式求值即可．
解答：解：作ED⊥BC于D，设所求的EC为x，则CD= x，BD=BE= x，
∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，∴BC=AC×cosC=5，
∵CD+BD=5，∴CE= －5，故选B．
点评：考查翻折变换问题；构造出含30°及含45°的直角三角形是解决本题的突破点．
16. 在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】C
【考点】轴对称图形．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【解答】解：扇形是轴对称图形，符合题意；等腰梯形是轴对称图形，符合题意；
菱形是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，故不符合题意．
共3个轴对称图形．故选C．
【点评】考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
17. 12、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（　　）
A、 B、 C、 D、

【答案】A
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【专题】计算题；综合题．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解： 如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x= ，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3- ，∴ ，即 ，
∴DF= ，AF= ，
∴OF= -1= ，
∴D的坐标为（- ， ）．故选A．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．

综合验收评估测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图12－125所示的四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是( )
一 日 千 里
A B C D
图12 - 125
　　2．如图12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是 ( )
　　 A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝CE D．AD＝EC

　　3．如图12－127所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为 ( )
　　　 A．6 B．5 C．4 D．3
　　4．点P(3，－5)关于x轴对称的点的坐标为 ( )
A．(－3，－5) B．(5，3) C．(－3，5) D．(3，5)
　　5．如图12－128所示，△ABC与△A′B′C′关于直线，对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为 ( )
A．48° B．54° C．74° D．78°

　　6．如图12－129所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC的三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
7．如图12－130所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是图12－131中的( )

　　8．如图12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( )
　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

　　9．如图12－133所示，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为 ( )
　　 A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于 ( )
　 A．90° B．75°
C．70° D．60°
　二、填空题(每小题3分，共30分)
　　11．等腰三角形ABC的两边长为2和5．则第三边长为 　 　 ．
12．如图12－135所示，镜子中的号码实际是　　 ．

　　13．如图12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝ 　　 °．
　　14．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于　　　 ．
　　15．如图12－137所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为　 　 度．
　　16．若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°．则这个三角形的顶角为 　　　 ．
　　17．等边三角形是轴对称图形，它有 　　 条对称轴．
　　18．(1)若等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为　 　　　．
　 (2)若等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为 　　　 ．
19．如图12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝3，则点D到AB的距离为 　　　 ．

　　20．如图12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE＝a，则△BDE的周长是 ．
　　三、解答题(每小题10分．共60分)
21．如图12－140所示，有分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A，B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1，l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹)．

22．如图12－141所示，∠BAC＝∠ABD．
　 (1)要使OC＝OD，可以添加的条件为 或 ；(写出2个符合题意的条件即可)
(2)请选择(1)中你所添加的一个条件．证明OC＝OD．
23．如图12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，AE＝AF，AD是BC边上的高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．

　　24．如图12－143所示，△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由．
25．如图12－144所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，航行到C处时，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．

26．如图12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF＝FC．为什么?

参考答案
1．C　
2．B[提示：由折叠知∠BED＝∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，所以AD＝DE．]　
3．B[提示：由CD是AB的垂直平分线可知PB＝PA＝5．]　
4．D[提示：两点关于x轴对称，则两点坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标相反．]
5．B[提示：由△ABC和△A′B′C′关于l对称，可知∠C＝∠C′＝48°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°．]　
6．C[提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．]
7．D[提示：按要求动手操作即可．]　
8．A[提示：有△BCE，△DEC，△ABD，△BCD和△ABC．]
9．C[提示：以O为圆心，OA为半径画圆与x轴有两个交点，以A为圆心，OA为半径画圆与x轴又交于一个与O不重合的一个点，作线段OA的垂直平分线与x轴交于一点，这四点都能使△POA为等腰三角形．]
10．D[提示：∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝30°．∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠ECD＝45°．∵DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝45°，∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°．∵DE＝EF，∴∠DEF＝60°．]
11．5[提示：由于2＋2＜5，所以2只能作底边长，5作腰长．]
12．3265
13．50[提示：由DE是AC的垂直平分线，可知EA＝EC，所以∠ECA＝∠A＝∠30°，又因为∠ACB＝80°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝80°－30°＝50°．]　
14．72°或 　
15．125[提示：由折叠可知∠BEF＝∠DEF，BE∥C′F，由∠BAD＝90°，∠ABE＝20°，可得∠AEB＝70°，所以∠BEF＝∠DEF＝(180°－∠AEB)× ＝(180°－70°)× ＝55°．由BE∥C′F得∠FEB＋∠EFC′＝180°，所以∠EFC′＝180°－∠BEF＝180°－55°＝125°．]
16．70°[提示：底角＝90°－35°＝55°，∴顶角为180°－55°×2＝70°．]
17．3
18．(1)25°，25° (2)55°，55°或70°，40°[提示：(1)130°为顶角，底角为 ＝25°．(2)①若70°为顶角，则其余两角为55°，55°；②若70°为底角，则其余两角为40°，70°．]
19．3[提示：过D作DE⊥AB于E，∵AD为∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3．]
20．12＋2a[提示：△BED为等腰三角形，BE＋ED＝2a，△ABC的边长为 ＝8，△ECD为等腰三角形，CD＝EC＝4．∴△BDE的周长为4＋8＋2a＝12＋2a．]　
21．解：点P是∠AOB的平分线和线段AB的垂直平分线的交点(如图12－146所示)．
22．(1)提示：答案不唯一．如∠C＝∠D或∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC或AC＝BD都可以． (2)提示：答案不唯一，以AC＝BD为例．证明如下：∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．又∵AC＝BD，∴AC－OA＝BD－OB，∴OC＝OD．
23．解：EF与BC的位置关系是：EF⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝ ∠BAC．又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AFE＝ ∠BAC．∴∠BAD＝∠AFE．∴EF∥AD．又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC．
24．提示：图略．欲使△ENF的周长最小，即EN＋NF＋EF最小，而EN为定长，则必有NF＋EF最小，又点F在AB上，且E，N在AB的同侧．由轴对称的性质，可作点E关于直线AB的对称点E′，连接E′N，与AB的交点即为点F，此时，FE＋FN最小，即△EFN的周长最小．
25．解：∵∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∠BCD＝∠BAC＋∠CBA，∴60°＝30°＋∠CBA，∴∠CBA＝30°．∴∠BAC＝∠CBA．∴CA＝CB．又∵∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形．∴CD＝BC．∴AC＝CD＝BC．又∵BC＝20海里，∴AC＝CD＝20海里．∴20÷10＝2(时)，40÷10＝4(时)．∴轮船到达C处的时间是13：30，即下午1时30分．轮船到达D处的时间是15：30，即下午3时30分．
26．解：如图12－147所示．∵BD＝BE，∴∠E＝∠1．又∵∠ABC＝∠E＋∠1＝2∠1，且∠ABC＝2∠C，∴2∠1＝2∠C，∴∠1＝∠C．又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2．∴FD＝FC．又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠C．
∴∠3＝∠4．∴AF＝FD．∴AF＝FC．

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