简单的线性规划及实际应用

题目 第七章直线和圆的方程 简单的线性规划及实际应用
高考要求
　　1 了解二元一次不等式表示平面区域
2 了解线性规划的意义 并会简单的应用
知识点归纳
1 二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）
B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数
当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域
2 线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题
满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量x、y；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案
题型讲解
例1 求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积
分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积
解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或 或 或
其平面区域如图

∴面积S= ×4×4=8
点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界
例2 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去 应该在同一天下午4至9点到达C市 设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），
那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围
解：（1）依题意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100
∴3≤x≤10， ≤y≤ ①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，
即9≤x+y≤14 ②
因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）
（2）∵p=100+3?（5－x）+2?（8－y），
∴3x+2y=131－p
设131－p=k，那么当k最大时，p最小 在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－ 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小
此时，v=12 5，w=30，p的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式 然后分析要求量的几何意义
例3 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员 此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次 甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元 问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解
解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小 观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求
此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低
点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点
例4 设 ，式中变量 满足条件
求 的最大值和最小值
解：由已知，变量 满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此①所表示的区域为如图中的四边形ABCD
当 过点C时， 取最小值，当 过点A时， 取最大值
即当 时， ，
当 时，
例5 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用，它生产1千克糖果的成本是10元，而销售价是每千克15元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？
解：设生产 千克的糖果的成本函数为 ，销售 千克的糖果的收益函数为 ，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，
令 ，得 ，
即每天必须生产并销售600千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当 时， ，表示有盈利，反之则表示亏本
例6 某人有楼房一幢，室内面积共180m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他们只能筹8000元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？
解：设应隔出大房间 间和小房间 间，则
且 ，
目标函数为 ，
作出约束条件可行域：
根据目标函数 ，
作出一组平行线
当此线经过直线
和直线 的交点 ，
此直线方程为 ，
由于 不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解
即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大 如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间
小结：
简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成 如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决
图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步 一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域 第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确 通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值 它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标
学生练习
1 下列命题中正确的是
A 点（0，0）在区域x+y≥0内 B 点（0，0）在区域x+y+1<0内
C 点（1，0）在区域y>2x内 D 点（0，1）在区域x－y+1>0内
解析：将（0，0）代入x+y≥0，成立
答案：A
2 设动点坐标（x，y）满足（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，则x2+y2的最小值为
A B C D 10
解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10
答案：D
3 不等式组 2x－y+1≥0，x－2y－1≤0， x+y≤1表示的平面区域为
A 在第一象限内的一个无界区域 B 等腰三角形及其内部
C 不包含第一象限内的点的一个有界区域 D 正三角形及其内部
答案：B
4 点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______
解析：（－2，t）在2x－3y+6=0的上方，则2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞ 答案：t＞
5 不等式组 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个
解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个 答案：3
6 （x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件
A 充分而不必要 B 必要而不充分C 充分且必要 D 既不充分也不必要
答案：B
7（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面区域为

A B C D
答案：B
8 画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式??不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域
直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC内取一点P（1，1），
分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y= x，观察图形可知：当直线y= x－ t过A（3，－1）时，纵截距－ t最小 此时t最大，tmax=3×3－2× （－1）=11；
当直线y= x－ t经过点B（－1，1）时，纵截距－ t最大，此时t有最小值为tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函数z=3x－2y在约束条件
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5
9 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0 5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0 4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），
所需费用为S=0 5x+0 4y，且x、y满足
6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，
由图可知，直线y=－ x+ S过A（ ， ）时，纵截距 S最小，即S最小
故每盒盒饭为面食 百克，米食 百克时既科学又费用最少
10 配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3 mg，乙料5 mg；配一剂B种药需甲料5 mg，乙料4 mg 今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?
解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y∈N），则
x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25
上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1） 所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．
11 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资 金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）
空调机洗衣机
成 本3020300
劳动力（工资）510110
单位利润68
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?
解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有
30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数
由图知直线y=－ x+ P过M（4，9）时，纵截距最大 这时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元
12 实系数方程f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：
（1） 的值域；
（2）（a－1）2+（b－2）2的值域；
（3）a+b－3的值域
解：由题意知
f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0 b＞0，a+b+1＜0，a+b+2＞0
如图所示 A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）
又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（ ，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）

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