逍遥右脑 2013-06-26 17:23
2.1.2.3指数函数的性质的应用
一、内容及其解析
（一）内容：指数函数的性质的应用。
（二）解析：通过进一步巩固指数函数的图象和性质，掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数的性质：定义域、值域、单调性，最值等性质。
二、目标及其解析
（一）目标
指数函数的图象及其性质的应用；
（二）解析
通过进一步掌握指数函数的图象和性质，能够构建指数函数的模型解决实际问题;体会指数函数在实际生活中的重要作用，感受数学建模在解题中的作用，提高学生分析问题与解决问题的能力。
三、问题诊断分析
解决实际问题本就是学生的一个难点，并且学生对函数模型也不熟悉，所以在构建函数模型解决实际问题是学生的一个难点，解决的方法就是在实例中让学生加强理解，通过实例让学生感受到如何选择适当的函数模型。
四、过程设计
探究点一：平移指数函数的图像
例１：画出函数 的图像，并根据图像指出它的单调区间．
解析：由函数的解析式可得：
＝
其图像分成两部分，一部分是将 （ｘ＜－１）的图像作出，而它的图像可以看作 的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将 的图像作出，而它的图像可以看作将 的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的．
解：图像由老师们自己画出
单调递减区间［－ ，－１］，单调递增区间［－１，＋ ］．
点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。
变式训练一：已知函数
(1)作出其图像；
(2)由图像指出其单调区间；
解：（１） 的图像如下图：
(2)函数的增区间是(－∞，－2]，减区间是[－2，＋∞)．
探究点二：复合函数的性质
例2：已知函数
（１）求ｆ（ｘ）的定义域；
（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；
解析：求定义域注意分母的范围，判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。
解：（１）要使函数有意义，须 －１ ，即ｘ １，所以， 定义域为（－ ，０） （０，＋ ）．
（２）
则ｆ（－ｘ）＝ =
所以，ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是偶函数．
点评：此问题难度不是太大，但是很多同学不敢尝试去化简，只要按照常规的方式去推理，此函数的奇偶性很容易判断出。
变式训练二：已知函数 ,试判断函数的奇偶性；
简析：∵定义域为 ,且 是奇函数；
探究点三 应用问题
例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原的
84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
【解】
设该物质的质量是1,经过 年后剩留量是 .
经过1年,剩留量
经过2年,剩留量
…………………………
经过 年,剩留量
点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论．
变式：储蓄按复利计算利息，若本金为 元，每期利率为 ，设存期是 ，本利和（本金加上利息）为 元．
（1）写出本利和 随存期 变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
分析：复利要把本利和作为本金计算下一年的利息．
【解】
(1)已知本金为 元,利率为 则:
1期后的本利和为
2期后的本利和为
……………………………
期后的本利和为
(2)将 代入上式得
(元).
答:5期后的本利和为1117.68元
点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．
六．小结
通过本节的学习，本节应用了指数函数的性质解决了什么问题？如何构建指数函数模型，解决生活中的实际问题？