第三章指数函数和对数函数测试题（北师大版带答案）

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第三章《指数函数和对数函数》章末检测
(时间90分钟，满分120分)
一、(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．化简[3－52] 的结果为(　　)
A．5　　　　　　　　　　　B.5
C．－5 D．－5
解析：[3－52] ＝(352) ＝5 × ＝5 ＝5.
答案：B
2．若log513•log36•log6x＝2，则x等于(　　)
A．9 B.19
C．25 D.125
解析：由换底公式，得lg 13lg 5•lg 6lg 3•lg xlg 6＝2，
∴－lg xlg 5＝2.
∴lg x＝－2lg 5＝lg 125.∴x＝125.
答案：D
3．(2015•江西高考)若f(x)＝ ，则f(x)的定义域为(　　)
A．(－12，0) B．(－12，0]
C．(－12，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：f(x)要有意义，需log (2x＋1)>0，
即0<2x＋1<1，解得－12<x<0.
答案：A
4．函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a>2
C．a>2 D ．1<a<2
解析：由0<a2－1<1得1<a2<2，
∴1<a<2.
答案：D
5．函数y＝ax－1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．a>1
C．0<a<1 D．a≠1
解析：由ax－1≥0得ax≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x≤0时，ax≥1恒成立，∴0<a<1.
答案：C
6．函数y＝x12xx的图像的大致 形状是(　　)

解析：原函数式化为y＝12x，x>0，－12x，x<0.
答案：D
7．函数y＝3x－1－2，　　　x≤1，13x－1－2， x>1的值域是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
解析：当x≤1时，0<3x－1≤31－1＝1，
∴－2<3x－1－2≤－1.
当x>1时，(13)x<(13)1，∴0<(13)x－1<(13)0＝1，
则－2< (13)x－1－2 <1－2＝－1.
答案：D
8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像为
(　　)

解析：由题意知前3年年产量增大速度越来越快， 可知在单位时间内，C的值增大的很快，从而可判定结果．
答案：A
9．设函数f(x)＝log2x－1，　x≥2，12x－1， x＜2，若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3)
解析：当x0≥2时，∵f(x0)>1，
∴log2(x0－1)>1，即x0>3；当 x0<2时，由f(x0)>1得(12)x0－1>1，(12)x0>(12)－1，
∴x0<－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：C
10.函数f(x)＝loga(bx)的图像如图，其中a，b为常数．下列结论正确的是 (　　)
A．0<a<1，b>1
B．a>1,0<b<1
C．a>1，b>1
D．0<a<1,0<b<1
解析：由于函数单调递增，∴a>1，
又f(1)>0，即logab>0＝loga1，∴b>1.
答案：C
二、题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若函数y＝13x　x∈[－1，0]，3x x∈0，1]，则f(log3 )＝________.
解析：∵－1＝log3 <log3 <log31＝0，
∴f(log3 )＝(13)log3 ＝3－log3 ＝3log32＝2.
答案：2
12．化简： • ＝________.
解析：原式＝ •
＝ •
＝a •a ＝a.
答案：a
13．若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1三图像无公共点，结合图像求b的取值范围为________．
解析：如图．

当－1≤b≤1时，此三函数的图像无公共点．
答案：[－1,1]
14．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．
解析：∵－1≤log3x≤1，
∴log313≤log3x≤log33，∴13≤x ≤3.
∴f(x)＝log3x的定义域是[13，3]，
∴f(x)＝log3x的反函数的值域是[13，3]．
答案：[13，3]
三、解答题(本大题共4个小题，共50分)
15．(12分)设函数y＝2x＋1－x－1.
(1)讨论y＝f(x)的单调性， 作出其图像；
(2)求f(x)≥22的解集．
解：(1)y＝22，　　x≥1，22x， －1≤x<1，2－2， x<－1.
当x≥1或x<－1时，y＝f(x)是常数函数不具有单调性，
当－1≤x<1时，y＝4x单调递增，
故y＝f(x)的单调递增区间为[－1,1)，其图像如图．

(2)当 x≥1时，y＝4≥22成立，
当－1≤x<1时，由y＝22x≥22＝2×2 ＝2 ，
得2x≥32，x≥34，∴34≤x<1，
当x<－1时，y＝2－2＝14<22不成立，
综上，f(x)≥22的解集为[34，＋∞)．
16．(12分)设a>1，若对于任意的x∈[a,2a ]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，求a的取值范围．
解：∵logax＋logay＝3，∴logaxy＝3.
∴xy＝a3.∴y＝a3x.
∴函数y＝a3x(a>1)为减函数，
又当x＝a时，y＝a2，当x＝2a时，y＝a32a＝a22 ，
∴a22，a2⊆[a，a2]．∴a22≥a.
又a>1，∴a≥2.∴a的取值范围为a≥2.
17．(12分)若－3≤log12x≤－12，求f(x)＝(log2x2)•(log2x4)的最大值和最小 值．
解：f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2＝(log2x－32)2－14.
又∵－3≤log x≤－12，∴12≤log2x≤3.
∴当log2x＝32时，f(x)in＝f(22)＝－14；
当log2x＝3时，f(x)ax＝f(8)＝2.
18．(14分)已知函数f(x)＝2x－12x＋1，
(1)证明函数f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)令g(x)＝xfx，判定函数g(x)的奇偶性，并证明．
解：(1)证明：设x1，x2是R内任意两个值，且x1<x2，则x2－x1>0，y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝2x2－12x2＋1－2x1－12x1＋1 ＝2•2x2－2•2x12x1＋12x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1，
当x1<x2时，2x1<2x2，∴2x2－2x1>0.
又2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴y2－y1>0，
∴f(x)是R上的增函数；
(2)f(x)＝2x＋1－22x＋1＝1－22x＋1，
∵2x＋1>1，∴0<22x＋1<2，
即－2<－22x＋1<0，∴－1<1－22x＋1<1.
∴f(x)的值域为(－1,1)；
(3)由题意知g(x)＝xfx＝2x＋12x－1•x，
易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)•2－x＋12－x－1＝(－x)•1＋2x1－2x＝x•2x＋12x－1＝g(x)，
∴函数g(x)为偶函数． 文


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