逍遥右脑 2013-05-14 13:35
2．2．3独立重复实验与二项分布
目标：
知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的化功能与人价值。
重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题
教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算
授类型：新授
时安排：1时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1 事的定义：随机事：在一定条下可能发生也可能不发生的事；
必然事：在一定条下必然发生的事；
不可能事：在一定条下不可能发生的事
2．随机事的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事 发生的频率 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事 的概率，记作 ．
3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事发生的频率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事的概率为 ，不可能事的概率为 ，随机事的概率为 ，必然事和不可能事看作随机事的两个极端情形
5 基本事：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事 ） 称为一个基本事
6．等可能性事：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事的概率都是 ，这种事叫等可能性事
7．等可能性事的概率：如果一 次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果都是等可能的，如果事 包含 个结果，那么事 的概率
8．等可能性事的概率公式及一般求解方法
9.事的和的意义:对于事A和事B是可以进行加法运算的
10 互斥事:不可能同时发生的两个事．
一般地：如果事 中的任何两个都是互斥的，那么就说事 彼此互斥
11．对立事:必然有一个发生的互斥事．
12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥， 那么
＝
13．相互独立事：事 （或 ）是否发生对事 （或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事叫做相互独立事
若 与 是相互独立事，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立
14．相互独立事同时发生的概率：
一般地，如果事 相互独立，那么这 个事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积，
二、讲解新：
1 独立重复试验的定义：
指在同样条下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2．独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这个事恰好发生 次的概率 ．
它是 展开式的第 项
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事可能发生也 可能不发生，在n次独立重复试验中这个事发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n， ）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ01…k…n
P
…
…
由于 恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记 ＝b(k；n，p)．
三、讲解范例：
例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率；
(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) .
(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为
P (X = 8 ) ＝ .
(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为
P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
.
例2．（2000年高考题）某厂生产电子元，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
P(ξ=0)= (95%) =0.9025，P(ξ=1)= (5%)(95%)=0.095，
P( )= (5%) =0.0025．
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ012
P0.90250.0950.0025
例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
解：依题意，随机变量ξ～B ．
∴P(ξ=4)= = ，P(ξ=5)= = ．
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
例4．某气象站天气预报的准确 率为 ，计算（结果保留两个有效数字）：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率
解：（1）记“预报1次，结果准确”为事 ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据 次独立重复试验中某事恰好发生 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率
答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即
答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是 ，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少 ？（结果保留两个有效数字）
解：记事 ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率 ，
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率 ，
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为
答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为 ．
点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法
例6．某人对一目标进行射击，每次命中率 都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击 次
记事 ＝“射击一次，击中目标”，则 ．
∵射击 次相当于 次独立重复试验，
∴事 至少发生1次的概率为 ．
由题意，令 ，∴ ，∴ ，
∴ 至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次
例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
设从低层到顶层停 次，则其概率为 ，
∴当 或 时， 最大，即 最大，
答：从低层到顶层 停不少于3次的概率为 ，停4次或5次概率最大．
例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．
（2）按比赛规则甲获胜的 概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ．
记事 =“甲打完3局才能取胜”，记事 =“甲打完4局才能取胜”，
记事 =“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜
∴甲打完3局取胜的概率为 ．
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负
∴甲打完4局才 能取胜的概率为 ．
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负
∴甲打完5局才能取胜的概率为 ．
(2)事 ＝“按比赛规则甲获胜”，则 ，
又因为事 、 、 彼此互斥，
故 ．
答：按比赛规则甲获胜的概率为 ．
例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 ？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（ ）
解：记事 ＝“种一粒种子，发芽”，则 ， ，
（1）设每穴至少种 粒，才能保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 ．
∵每穴种 粒相当于 次独立重复试验，记事 ＝“每穴至少有一粒发芽”，则
．
∴ ．
由题意，令 ，所以 ，两边取常用对数得，
．即 ，
∴ ，且 ，所以取 ．
答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 ．
（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，
∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为 ，
答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384
四、堂练习：
1．每次试验的成功率为 ，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）
2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）
3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的 是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）
4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为 ，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）
6．一名篮球运动员投篮命中率为 ，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．
7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率为 ．
8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 ，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率
9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：
⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；
⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率
10．（1）设在四次独立重复试验中，事 至少发生一次的概率为 ，试求在一次试验中事 发生的概率 （2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为 ，求在第 次才击中目标的概率
答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.046
7. 8.（1） （2）
9.⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
10.(1) (2)
五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑 第一：每次试验是在同样条下进行 第二：各次试验中的事是相互独立的 第三，每次试验都只有两种结果，即事要么发生，要么不发生
2．如果1次试验中某事发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中这个事恰好发生 次的概率为 对于此式可以这么理解：由于1次试验中事 要么发生，要么不发生，所以在 次独立重复试验中 恰好发生 次，则在另外的 次中 没有发生，即 发生，由 ， 所以上面的公式恰为 展开式中的第 项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系
六、后作业：本58页 练习1、2、3、4 第60页 习题 2. 2 B组2、3
七、板书设计（略）
八、后记：
教学反思：
1. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
2. 能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
3. 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的化功能与人价值。