2015高三上学期数学理科期末试题(带答案)

逍遥右脑  2016-06-22 15:59



北京市石景山区2014届高三第一学期期末测试数学理试题
  本试卷共6页,满分为150分,考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后上交答题卡.
第一部分( 共40分)
一、共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,,那么( )
A. B.
C. D.
2.复数( )
A.B.C.D.
3.已知向量,,则“”是“∥”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知数列为等差数列,,那么数列通项公式为( )
A.B.
C.D.
5.执行如图所示的程序框图,若输入的的值为,
则输出的的值为(  )
A.B.
C.D.

6. 在边长为的正方形中任取一点,则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为( )
A.B.
C.D.


7.用到这个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A.B. C.D.
8.已知函数满足,当时,,若在区间上方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.

第二部分(非选择题 共110分)
二、题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知圆的参数方程为为参数,则圆的直角坐标方程为_______________,圆心到直线的距离为______.
10.在中,角的对边分别为,若,,,则______.
11. 若,满足约束条件则的最大值为 .
12.如图,已知在中,,是上一点,
以为圆心,为半径的圆与交于点,与切
于点,,,则的长为 ,
的长为 .
13.已知抛物线的焦点为,准线为直线,过抛物线上一点作于,若直线的倾斜角为,则______.
已知四边形是边长为的正方形,且平面,为上动点,过且垂直于的平面交于,那么异面直线与所成的角的度数为 ,当三棱锥的体积取得最大值时, 四棱锥的高的长为 .

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
  已知函数.
  (Ⅰ)求函数的单调递增区间;
  (Ⅱ)求函数在上的最小值,并写出取最小值时相应的值.

16.(本小题满分13分)
  北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”,测试总成绩满分为分,规定测试成绩在之间为体质优秀;在之间为体质良好;在之间为体质合格;在之间为体质不合格.
现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩,其茎叶图如下:
91356
80112233344566779
7056679
6458
56
  
  (Ⅰ)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数;
  (Ⅱ)根据以上名学生体质健康测试成绩,现采用分层抽样的方法,从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生,再从这名学生中选出人.
  (?)求在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率;
  (?)记为在选出的名学生中体质为良好的人数,求的分布列及数学期望.

17.(本小题满分14分)
  如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,
,∥,且,,为的中点.
  (Ⅰ)求证:平面;
  (Ⅱ)求二面角的余弦值;
  (Ⅲ)在线段上是否存在一点(不与两点重合),使得∥平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.


18.(本小题满分13分)
  已知函数(为自然对数的底数).
  (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
  (Ⅱ)求函数的单调区间;
  (Ⅲ)已知函数在处取得极小值,不等式的解集为,若,且,求实数的取值范围.

19.(本小题满分14分)
  已知椭圆:()过点,且椭圆的离心率为.
  (Ⅰ)求椭圆的方程;
  (Ⅱ)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且,再过作直线.证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.

20.(本小题满分13分)
  已知集合,对于数列中.
  (Ⅰ)若项数列满足,,则数列中有多少项取值为零?()
  (Ⅱ)若各项非零数列和新数列满足().
  (?)若首项,末项,求证数列是等差数列;
(?)若首项,末项,记数列的前项和为,求的最大值和最小值.

石景山区2015—2015学年第一学期期末考试
高三数学(理科)参考答案

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.
题号12345678
答案DCAACBBD

二、题共6小题,每小题5分,共30分.
题号91011121314
答案,,

(两空的题目第一空2分,第二空3分)

三、解答题共6小题,共80分.
15.(本小题共13分)
  解:(Ⅰ) …………2分
   , ……………4分
   ,, ,, ………6分
  所以函数的单调递增区间为. ……………7分
  (Ⅱ)因为,, ……………9分
      , , ……………11分
   所以当,即时,函数取得最小值.………13分
16.(本小题共13分)
解:(Ⅰ)根据抽样,估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人.…………3分
 (Ⅱ)依题意,体质为良好和优秀的学生人数之比为 .
所以,从体质为良好的学生中抽取的人数为,从体质为优秀的学生中抽取的人数为.…6分
   (?)设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件,
   则 . 故在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率为.……9分
   (?)解:随机变量的所有取值为.,
,. …………12分
   所以,随机变量的分布列为:
    
   . ……………13分
17.(本小题共14分)
(Ⅰ)证明:
   因为平面,平面,
   所以. ……………1分
   取的中点,连结,
   因为底面为直角梯形,∥,,且,
   所以四边形为正方形,所以,且,
   所以,即. ……………3分
   又,所以平面. ……………4分
(Ⅱ)解:如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.………5分
   则,,,,
   所以,,.
   因为平面,所以为平面的一个法向量. ……6分
  设平面的法向量为,
  由,得
  令,则,,
  所以是平面的一个法向量. ………8分
  所以
  因为二面角为锐角, 所以二面角的余弦值为. ………9分
(Ⅲ)解:假设在线段上存在点(不与两点重合),使得∥平面.
设,则,.
设平面的法向量为,
   由,得
   令,则,,
所以是平面的一个法向量.…12分
   因为∥平面,所以,即, ……………13分
   解得,
   所以在线段上存在一点(不与两点重合),使得∥平面,且.……14分
18.(本小题共13分)
解:(Ⅰ)当时,,,,得,………2分
  所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分
  (Ⅱ).
  当时,恒成立,此时的单调递增区间为,无单调递减区间;………5分
  当时,时,,时,,
  此时的单调递增区间为,单调递减区间为.……7分
(Ⅲ)由题意知得,经检验此时在处取得极小值. ………8分
  因为,所以在上有解,即使成立,…9分
  即使成立, …………10分
  所以.
  令,,所以在上单调递减,在上单调递增,
  则, ……………12分
所以. ……………13分
19.(本小题共14分)
解:(Ⅰ)因为点在椭圆上,所以, 所以, …………1分
因为椭圆的离心率为, 所以,即 , …………2分
解得, ……………4分
所以椭圆的方程为. ……………5分
   (Ⅱ)设,,
   ①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,
   由得, ………7分
    所以, ……………8分
    因为,即为中点,所以,即.
   所以, ……………9分
   因为直线, 所以,所以直线的方程为,
    即 ,显然直线恒过定点. ……………11分
    ②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
    此时直线为轴,也过点. ……………13分
    综上所述直线恒过定点. ……………14分
20.(本小题共13分)
  解:(Ⅰ)设数列中项为分别有项.由题意知
  解得.所以数列中有项取值为零. ……3分
  (Ⅱ)
  (?)且,得到,
  若,则满足.此时,数列是等差数列;
  若中有个,则不满足题意;
  所以数列是等差数列. ……………7分
  (?)因为数列满足,所以,
  根据题意有末项,所以.
  而,于是为正奇数,且中有个和个.

  要求的最大值,则只需前项取,后项取,
  所以 (为正奇数).
  要求的最小值,则只需前项取,后项取,
  则 (为正奇数). …………13分




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