数列

第三 数列
一　数列
【考点阐述】
数列．
【考试要求】
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
【考题分类】
（一）选择题（共2题）
1.（北京卷理6）．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知 ＝ + ＝ -12， ＝ + ＝－24, = + = -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
2.（江西卷理55）在数列 中， ， ，则
A． B． C． D．
解析： . ， ，…，

（二）填空题（共2题）
1.（北京卷理14）某校数学外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点 处，其中 ， ，当 时，

表示非负实数 的整数部分，例如 ， ．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T 组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列 为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列 为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。
2.（四川卷16）设数列 中， ，则通项 ___________。
【解】：∵ ∴ ， ，
， ， ， ，
将以上各式相加得：
故应填 ；
（三）解答题（共1题）
1.（福建卷20）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（ ）（n N*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+ ，求证：bn•bn+2＜b2n+1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬•••+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+•••+2+1＝ =2n-1.
因为bn•bn+2-b =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5•2n+4•2n
=-2n＜0,
所以bn•bn+2＜b ,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn•bn+2- b =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1•bn-1-2n•bn+1-2n•2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2<b2n+1


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