逍遥右脑 2013-03-23 20:02
1．3二项式定理
一、：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
2． 已知 ， 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于（ ）
A．4 B．9 C．10 D．11
3．已知（ 的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．5310被8除的余数是（ ）
A．1B．2C．3D．7
5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
6．二项式 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D ．4
7．设(3x +x ) 展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=2 72，则展开式的x 项的系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．在 的展开式中 的系数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9． 展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是
（ ）
A．330 B．462 C．680 D．790
10． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．－40 B．10 C．40 D．45
11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为 ，则x在[0，2π]内的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的（ ）
A．第2项 B．第11项 C．第20项 D．第24项
二、题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.
13． 展开式中 的系数是 .
14．若 ，则 的值为__________.
15．若 的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 .
16．对于二项式(1-x) ，有下列四个命题：
①展开式中T = －C x ；
②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，(1-x) 除以2000的余数是1．
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题满分74分.
17．（12分）若 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（１）求n的值；
（２）此展开式中是否有常数项，为什么？
18． （12分）已知( )n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系 数．
19．（12分）是否存在等差数列 ，使 对任意 都成立？若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．
20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？
21. （12分）设f(x)=(1+x)+(1+x)n(、n )，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.
22．（14分）规定 ，其中x∈R，是正整数，且 ，这是组合数 （n、是正整数，且≤n）的一种推广．
(1) 求 的值；
(2) 设x>０，当x为何值时， 取得最小值？
(3) 组合数的两个性质；
① . ② .
是否都能推广到 （x∈R，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.
参考答案
一、
1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C
3．解： ， ．
5 ．解：(1.05)6 =
=1+0.3+0.0375+0.0025+… 1.34．
6．解： ，r=0,1,…,8. 设 ，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).
7．解：由 得 ，n=4, , 取r=4.
8．解：设 = 的展开式的通项为 则 (r=0,1,2,…,6). 二项式 展开式的通项为
(n=0,1,2,…,r)
的展开式的通项公式为
令r+n=5,则n=5-r r=3,4,5,n=2,1,0.
展开式中含 项的系数为:
9．解：显然奇数项之和是所有项系数之 和的一半，令x =1 即得所有项系数之和， 各项的系数为二项式系数，故系统最大值为 或 ，为462．
10．解： =
= =
的系数为
二、题
13． ； 14．1； 15． =210； 1 6．①④．
三、解答题
17．解：（１）n = 7 （6分）（２）无常数项（6分）
18．解：由 (3 分)得 （5分），得 ．（8分） ，该项的系数最大，为 ．（12分）
19．解：假设存在等差数列 满足要求（2分） （4分）= （8分）
依题意 ， 对 恒成立，（10分） , 所求的等差数列存在，其通项公式为 ．（12分）
20．解：设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为吨/亩，（2分）依题意
（6分）
化简： （8分）
（10分）
（亩）
答：耕地平均每年至多只能减少4亩．（12分）
21．解：展开式中，关于x的一次项系数为 （3分）关于x的二次项系数为 ，（8分）当n=5或6时，含x2项的系数取最小值25，此时=6,n=5或 =5,n=6. （12分）
22．解：(1) . （4分）
(2) . （6分） ∵ x > 0 , .
当且仅当 时，等号成立. ∴ 当 时， 取得最小值. （8分）
（3）性质①不能推广，例如当 时， 有定义，但 无意义; （10分）
性质②能推广，它的推广形 式是 ，xR , 是正整数. （12分）
事实上，当＝１时，有 .
当≥２时.
．（14分）