逍遥右脑 2013-03-20 18:34
1．数列1，12，14，…，12n，…是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案：B
2．已知数列{an}的通项公式an＝12[1＋(－1)n＋1]，则该数列的前4项依次是( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.12，0，12，0 D．2,0,2,0
答案：A
3．数列{an}的通项公式an＝cn＋dn，又知a2＝32，a4＝154，则a10＝__________.
答案：9910
4．已知数列{an}的通项公式an＝2n2＋n.
(1)求a8、a10.
(2)问：110是不是它的项？若是，为第几项？
解：(1)a8＝282＋8＝136，a10＝2102＋10＝155.
(2)令an＝2n2＋n＝110，∴n2＋n＝20.
解得n＝4.∴110是数列的第4项．
一、
1．已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3等于( )
A．3 B．9
C．12 D．20
答案：C
2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，12，13，14，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－12，－14，－18，…
D．1，2，3，…，n
解析：选C.对于A，an＝1n，n∈N*，它是无穷递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－(12)n－1，它是无穷递增数列．
3．下列说法不正确的是( )
A．根据通项公式可以求出数列的任何一项
B．任何数列都有通项公式
C．一个数列可能有几个不同形式的通项公式
D．有些数列可能不存在最大项
解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，….
4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )
A.1617 B.1819
C.2021 D.2223
解析：选C.由题意知数列的通项公式是an＝2n2n＋1，
∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故选C.
5．已知非零数列{an}的递推公式为an＝nn－1•an－1(n＞1)，则a4＝( )
A．3a1 B．2a1
C．4a1 D．1
解析：选C.依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2a1；当n＝3时，a3＝32a2＝3a1；当n＝4时，a4＝43a3＝4a1.
6．(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝12an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选B.由a1>0，且an＋1＝12an，则an>0.
又an＋1an＝12<1，∴an＋1<an.
因此数列{an}为递减数列．
二、题
7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为__________．
解析：由an＝19－2n>0，得n<192，∵n∈N*，∴n≤9.
答案：9
8．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝5，a3＝23，且an＋1＝αan＋β，则α、β的值分别为________、________.
解析：由题意an＋1＝αan＋β，
得a2＝αa1＋βa3＝αa2＋β⇒5＝2α＋β23＝5α＋β⇒α＝6，β＝－7.
答案：6 －7
9．已知{an}满足an＝－1nan－1＋1(n≥2)，a7＝47，则a5＝________.
解析：a7＝－1a6＋1，a6＝1a5＋1，∴a5＝34.
答案：34
三、解答题
10．写出数列1，23，35，47，…的一个通项公式，并判断它的增减性．
解：数列的一个通项公式an＝n2n－1.
又∵an＋1－an＝n＋12n＋1－n2n－1＝－12n＋12n－1＜0，
∴an＋1＜an.
∴{an}是递减数列．
11．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2011；
(3)2011是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有k＋b＝3，17k＋b＝67，
解得k＝4，b＝－1.∴an＝4n－1.
(2)a2011＝4×2011－1＝8043.
(3)令2011＝4n－1，解得n＝503∈N*，
∴2011是数列{an}的第503项．
12．数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否是{an}中的一项？
(2)当n分别取何值时，an＝0，an＞0，an＜0?
解：(1)假设－60是{an}中的一项，则－60＝30＋n－n2.
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴－60是{an}的第10项．
(2)分别令30＋n－n2＝0；＞0；＜0，
解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，
即n＝6时，an＝0；
0＜n＜6时，an＞0；
n＞6时，an＜0.