等差数列

3.1 等差数列（第二时，等差数列的性质）
教学目的：
1.明确等差中项的概念.
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.
教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
一、复习引入
1．等差数列的定义；2．等差数列的通项公式：（1），（2），（3）
3．有几种方法可以计算公差d
① d= － ② d= ③ d=
二、讲解新：
问题：如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条？
由定义得A- = -A ，即：
反之，若 ，则A- = -A
由此可可得： 成等差数列。
也就是说，A= 是a,A,b成等差数列的充要条
定义：若 ，A， 成等差数列，那么A叫做 与 的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
注意到， ，……
由此猜测：
性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
（以上结论由学生证明）
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
特例：等差数列{an}中，与首尾“等距离”的任意两项和相等.即

三、例题
例1在等差数列{ }中，若 + =9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式 + = + =9入手……（答案： =2, =32）
例2 等差数列{ }中， + + =－12, 且 • • =80. 求通项
分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再构造一个等式出。
（答案： =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5）
例3在等差数列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9项和 （ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）.
提示：由双项关系式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 及 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, 易得 ＋ ＝2 ＝180.
＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.
例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差数列。
分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)， 即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.
例5 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.
分析：两个等差数列的相同的项按原的前后次序组成一个等差数列，且公差为原两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）
四、练习：
1.在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差
2. 在等差数列 中, 若 求
3.在等差数列 中若 ， ， 求
五、作业：本：P114习题3.2 7. 10，11.《精析精练》P117 智能达标训练




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