云南省玉溪一中2014届高三上学期期中考试 数学理

玉溪一中201届试题班级 第卷（选择题，共分）一、选择题本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是A. 1 B. 3 C. 4 D. 82.若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为A. －2 B. 6 C. 4 D. －63.下列命题中是假命题的是A.x∈(0，)，x＞sinx B. x0∈R，sinx0＋cosx0＝2C.x∈R，3x＞0 D. x0∈R，lgx0＝04.函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2?a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝A. 35 B. 33 C. 31 D. 296.如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是A. B. C. D. 7.函数y＝sin(ωx＋φ)（ω＞0且φ＜）在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为A. B. C. D. 8.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为A. 1 B. C. D. 9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A. 8π B. 6π C. 4π D. 2π10.已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则A. a2＝ B. a2＝13 C. b2＝ D. b2＝211.已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形.其中，正确的判断是A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④12.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f()＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x).则f()＋f()＝A. B. C. 1 D. 第卷（非选择题，共分）二、填空题本大题小题，每题分，共分 13.二项式(x3－)5的展开式中的常数项为 .14.若以双曲线－y2＝1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是 .15.定义在实数上的函数f(x)＝的最小值是 .16.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 .三、解答题本大题共小题，共分17.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝ .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.18.（本小题满分12分）某地区举行一次数学新课程骨干教师研讨会，共邀请15名使用人教A版或人教B版的教师，数据如下表所示：版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数6342（Ⅰ）从这15名教师中随机选出2名教师，则这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？（Ⅱ）研讨会中随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.21.（本小题满分12分）设a≥0，函数f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－ .（Ⅰ）当a≥1时，求f(x)的最小值；（Ⅱ）假设存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)－g(x2)＜1成立，求a的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分..（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的方程是p＝4，直线l的方程是psin(θ＋)＝3，求圆C上的点到直线l的距离的最大值.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝x－2a，a∈R.（Ⅰ）若不等式f(x)＜1的解集为{x1＜x＜3}，求a的值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f(x0)＋x0＜3，求a的取值范围.玉溪一中201届试题一、选择题本大题共1个小题，每小题分，共分.二、填空题本大题个小题，每题分，共分.－10； 14. (x－2)2＋y2＝； 15.－； 16.(－∞，－]∪[，＋∞).三、解答题本大题共个小题，共分.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.（Ⅱ）由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝ .18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从15名教师中随机选出2名共有种选法，所以这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是＝ .（Ⅱ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.则P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝ .故ξ的分布列为ξ012P所以ξ的数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＝ .19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ BF⊥平面AEC，∴ BF⊥AE，∵ 二面角D—AB—E为直二面角， ∴ 平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴ BC⊥平面ABE，∴ BC⊥AE，又BF∩BC＝B，∴ AE⊥平面BCE.（Ⅱ）连接BD交AC于点G，连接FG，∵ 四边形ABCD为正方形，∴ BD⊥AC，∵ BF⊥平面ACE，∴ BF⊥AC，又BD∩BF＝B，∴ AC⊥平面BFG.∴ FG⊥AC，∠FGB为二面角B—AC—E的平面角，由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，∴ AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，∴ AE＝BE＝，在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝＝，在正方形ABCD中，BG＝，在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝＝＝ .即二面角B—AC—E的正弦值为 .（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，而BF⊥平面ACE，则线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为点D到平面ACE的距离.故点D到平面ACE的距离为＝ .20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝，① 当0＜t＜时，函数f(x)在(t，)上单调递减，在(，t＋2)上单调递增，此时函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f()＝－；② 当t≥时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，此时函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tlnt.（Ⅱ）由题意得，f(x)－g(x)＝xlnx＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，即a＝lnx＋x＋在(0，＋∞)上有且仅有一个根，令h(x)＝lnx＋x＋，则h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)，易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f′(x)＝[x2＋(a－1)x－a]ex＝(x＋a)(x－1)ex，∵ a≥1， ∴ 当x∈(－∞，－a)时，f(x)递增，当x∈(－a，1)时，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f(x)递增.∴ 函数f(x)的极大值点为x1＝－a，极小值点为x2＝1，而f(1)＝(1－a)e≤0，f(－a)＝＞0，令h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3，则其图象的对称轴为x＝＞－a，h(－a)＝a＋3＞0，∴ 当x≤－a时，h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3＞0，∴ f(x)＞0.当x＞－a时，f(x)的最小值为f(1)＝(1－a)e≤0.∴ f(x)的最小值是(1－a)e.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上的值域是[(1－a)e，＋∞)，当0≤a＜1时，f(x)在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞).而g(x)＝2－a－x－≤3－a－2＝－a－1，当且仅当x＝1时，等号成立，故g(x)在(0，＋∞)上的值域为(－∞，－a－1]，∴ 当a≥1时，令(1－a)e－(－a－1)＜1，并解得a＞，当0＜a＜1时，令0－(－a－1)＜1，无解.因此，a的取值范围是(，＋∞).22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：以极点为坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系，易得圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝16，直线l的直角坐标方程是y＋x－6＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝3，∴ 圆C上的点到直线l的距离的最大值为3＋4＝7.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）由题意可得x－2a＜1可化为2a－1＜x＜2a＋1，即，解得a＝1.（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋x＝x－2a＋x＝，所以函数g(x)＝f(x)＋x的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，即a＜，所以a的取值范围为(－∞，).云南省玉溪一中2014届高三上学期期中考试 数学理
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