逍遥右脑 2014-05-30 11:34
江苏省盱眙县2012-2013学年八年级（上）期中数学试卷
一、（本题共8小题，每小题3分，共24分，每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1．（3分）（?2）2的平方根是（ ）
A．2B．?2C．± D．±2
考点：平方根．.
分析：首先根据平方的定义求出（?2）2的结果，然后利用平方根的定义求解即可．
解答：解：∵（?2）2=4，
而2或?2的平方等于4，
∴（?2）2的平方根是±2．
故选D．
点评：此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．
2．（3分）下列数中是无理数的是（ ）
A． B． C．0.410 D．
考点：无理数．.
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解答：解：A、是分数，是有理数，故选项错误；
B、? =?3是整数，故选项错误；
C、是无限循环小数，是分数，故选项错误；
D、是无理数，故正确．
故选D．
点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
考点：勾股数．.
专题：．
分析：本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
解答：解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选C．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．（3分）在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形；中心对称图形．.
分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念结合表示天气符号的图形解答．
解答：解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形．符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意．
故选A．
点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．（3分）已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ）
A．30B．60C．78D．不能确定
考点：勾股定理的逆定理；三角形的面积．.
分析：本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．
解答：解：∵52+122=132，
∴三角形为直角三角形，
∵长为5，12的边为直角边，
∴三角形的面积= ×5×12=30．
故选A．
点评：本题需要学生根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式结合求解．
6．（3分）下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行D．两条对角线互相垂直
考点：平行四边形的判定．.
分析：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
解答：解：A、一组对边相等，不能判断，故错误；
B、两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C、一组对边平行，不能判断，故错误；
D、两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选B．
点评：本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
7．（3分）已知▱ABCD的周长为32，AB：BC=1：3，则BC的长（ ）
A．4B．12C．24D．28
考点：平行四边形的性质．.
专题：．
分析：设AB=x，则BC=3x，从而根据平行四边形的周长=2（AB+BC）可解出x的值，继而可得出BC的长度．
解答：解：设AB=x，则BC=3x，
由题意得，2（AB+BC）=8x=32，
解得：x=4，即BC的长度为4．
故选B．
点评：此题考查平行四边形的性质，属于基础题，解答本题关键是掌握平行四边形的对边相等的性质，难度一般，注意利用方程思想解题．
8．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25B．12.5C．9D．8.5
考点：三角形的面积．.
专题：网格型．
分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
解答：解：如图：小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25
S△AED= DE•AE= ×1×2=1，
S△DCH= •CH•DH= ×2×4=4，
S△BCG= BG•GC= ×2×3=3，
S△AFB= FB•AF= ×3×3=4.5．
S四边形ABCD=S□EFGH?S△AED?S△DCH?S△BCG?S△AFB=25?1?4?3?4.5=12.5．
故选B．
点评：本题考查的是勾股定理的运用，根据图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答．
二、题（本题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填在题中的横线上）
9．（3分）?2是 ?8 的立方根．
考点：立方根．.
分析：根据（?2）3=?8，即可得出答案．
解答：解：?2是?8的立方根．
故答案为：?8．
点评：本题考查了立方根的知识，属于基础题．
10．（3分）? = ?4 ．
考点：算术平方根．.
分析：直接进行开平方的运算即可．
解答：解：? =?4．
故答案为：?4．
点评：本题考查了算术平方根的知识，属于基础题，关键是掌握算术平方根的定义及开平方的运算．
11．（3分）角的对称轴是 角平分线所在的直线 ．
考点：轴对称图形．.
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答：解：沿角平分线所在的直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，所以角的对称轴是角平分线所在的直线．
点评：注意：对称轴必须说成直线．
12．（3分）（2008•盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 6 ．
考点：梯形中位线定理．.
分析：结合梯形的中位线定理以及梯形的面积公式，得梯形的面积等于中位线长和高的乘积．
解答：解：根据题意，得
该梯形的面积为3×2=6．
点评：熟记梯形的面积公式：梯形的面积=两底和的一半×高=梯形的中位线×高．
13．（3分）已知一个三角形的三条边长为3c，4c，5c，那么最长边上的中线长是 2.5 c．
考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．.
分析：根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等于斜边的一半解答即可．
解答：解：∵32+42=25=52，
∴该三角形是直角三角形，
∴ ×5=2.5c．
故答案为：2.5．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出是直角三角形是解题的关键．
14．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，请你再添加一个条件： AD=BC或AB∥CD ，使它成为平行四边形．
考点：平行四边形的判定．.
专题：开放型．
分析：已知AD∥BC，可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可根据两组分别平行的四边形是平行四边形来判定．
解答：解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC
∴可添加的条件是：AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：AD=BC或AB∥CD．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
15．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5c，△ABD的周长为14c，则△ABC的周长为 24c ．
考点：线段垂直平分线的性质．.
专题：计算题．
分析：根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AE=EC=5c，由AB+BD+AD=14c，得到AB+BD+DC=14c，所以有AB+BC+AC=14c+10c=24c，从而得到结论．
解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC=5c，
而△ABD的周长为14c，即AB+BD+AD=14c，
∴AB+BD+DC=14c，
∴AB+BC+AC=14c+10c=24c，
即△ABC的周长为24c．
故答案为24c．
点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了三角形周长的定义．
16．（3分）若x，y为实数，且y=4+ + ，则y?x的值是 ?1 ．
考点：二次根式有意义的条件．.
分析：根据二次根式的意义，被开方数大于或等于0，列不等式组求解．
解答：解：根据二次根式的意义得 ，
解得x=5．则y=4，
∴y?x=4?5=?1．
点评：主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 （a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
17．（3分）如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是 336 ．
考点：勾股定理．.
分析：要求图中字母所代表的正方形面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设A的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另乙直角边为b，则c2=400，b2=64，已知斜边和以直角边的平方，由勾股定理可求出A的边长的平方，即求出了图中字母所代表的正方形的面积．
解答：解：设A的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另乙直角边为b，则c2=400，b2=64，
如图所示，在该直角三角形中，
由勾股定理得：a2=c2?b2=400?64=336，
所以，图中字母所代表的正方形面积是a2=336．
点评：本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．
18．（3分）如图，等边△ABC的边长为1c，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 3 c．
考点：翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质．.
专题：压轴题．
分析：由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
解答：解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=3c．
点评：折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
三、解答题（本题共10小题，共96分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（12分）（1）计算 ；
（2）计算 ．
考点：实数的运算．.
分析：（1）分别进行开平方运算，然后合并即可；
（2）分别进行开立方及开平方的运算，然后合并即可．
解答：解：（1）原式=2?3=?1
（2）原式=?3+3=0．
点评：本题考查了实数的运算，关键是掌握开立方及开立方的运算．
20．（10分）求下列各式中x的值．
（1）解方程x2?25=0；
（2）（x?3）3=27．
考点：立方根；平方根．.
分析：（1）先移项，然后开平方即可得出x的值；
（2）直接开立方得出（x?3）的值，然后求出x的值即可．
解答：解：（1）移项得：x2=25，
开平方得：x=±5．
（2）开立方得：x?3=3，
移项得：x=6．
点评：本题考查了平方根及立方根的知识，属于基础题，关键是掌握开平方及开立方的运算．
21．（10分）求出图中Rt△的x．
考点：勾股定理．.
分析：根据勾股定理计算即可．
解答：解：（1）由勾股定理得：x= =4；
（2）由勾股定理得：x= =13．
点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=26，边BC上的中线AD=24．求BC的长度．
考点：等腰三角形的性质；勾股定理．.
专题：计算题．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得，AD是BC边上的中垂线，从而可根据勾股定理求得BD的长，从而不难求得BC的长．
解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC，BD=DC．
∴AD2+BD2=AB2，
∵AD=24，AB=26，
∴BD2=100，
∵BD＞0，
∴BD=10，
∴DC=10，
∴BC=BD+DC=20．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的综合运用．
23．（10分）如图，E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，求证：DE=CE．
考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：根据等腰梯形的性质，可知CB=AD，∠CBE=∠DAE，又因为BE=AE，所以△CBE≌△DAE，则DE=CE．
解答：证明：∵等腰梯形ABCD，
∴BC=AD，∠CBE=∠DAE．
∵E是AB上的中点，
∴BE=AE．
∴△CBE≌△DAE（SAS）．
∴DE=CE．
点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用．
24．（10分）按下列要求作图
（1）作出图1△ABC关于已知直线l的轴对称图形．
（2）作出图2中线段AB关于点O的中心对称图形．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换；中心对称．.
分析：（1）分别作出点A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′，再顺次连接各点即可得出答案；
（2）分别作出点A，B关于点O的对称点A′，B′，再连接A′B′即可得出答案．
解答：解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，线段A′B′即为所求．
点评：此题主要考查了作图?轴对称变换及作图?旋转变换，根据已知分别作出已知点的对称点是解题关键．用到的知识点为：
轴对称变换图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；中心对称变换图形中，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
25．（10分）如图，∠AOB=90°，OA=45c，OB=15c，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
考点：勾股定理的应用．.
分析：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的长．
解答：解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，设AC为x，则OC=45?x，
由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵OA=45，OB=15，
把它代入关系式152+（45?x）2=x2，
解方程得出x=25（c）．
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25c．
点评：根据题意找出等量关系，再由勾股定理即可得到答案．
26．（10分）如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
试说明：CD=CE．
考点：平行四边形的性质．.
专题：证明题．
分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，从而求出∠2=∠3，然后利用等角对等边证明即可．
解答：证明：∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠1=∠2，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE．
点评：本题考虑从平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等的性质，以及角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题．
27．（8分）下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，所得的差就是小数部分．
又例如：因为 ，即 ，
所以 的整数部分为2，小数部分为 ．
请解答：
（1） 如果 的整数部分为a，那么a= 3 ．如果 ，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b= 4 ，c= ?1 ．
（2） 将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度．
考点：勾股定理；估算无理数的大小．.
专题：计算题．
分析：（1）按照题干中给出的判定方法可以判定3＜ ＜4；
（2）在直角三角形中，已知两直角边的长度，根据勾股定理可以计算斜边的长度．
解答：解：（1）∵ ＜ 即3＜ ＜4，
所以 的整数部分为3，
当3+ =b+c且b为整数，0＜c＜1，
∴c= ?1，b=4；
（2）a=3，b=4，
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，
即斜边的长为 =5，
即第三边为5，
故答案为：（1）3，4， ?1．（2）第三边的长为5．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了无理数大小的估算，本题中正确的计算a、b的值是解题的关键．
28．（6分）梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4c，AD=6c，BC=12c，∠B=30°，现点P从B点出发，沿BA→AD向点D运动，点Q从点C出发，沿CB向点B运动，P、Q的运动速度均为1c/s，两点中有一点到达目的地时，另一点也停止运动，
（1）请用含有t的代数式表示S△PBQ；
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，A、B、Q、P四点恰好构成一个平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：平行四边形的性质；梯形．.
专题：动点型．
分析：（1）有两种情况，即P在AB上时和P在AD上时，在这两种情况中，BQ的长都能表示为（12?t），关键是P到BC的距离，当P在AB上时，PB=t，由于∠B=30°，所以此时高为0.5t，当P在AD上时，P到BC的距离和A到BC的距离相等为2，所以面积就可求出了．
（2）要成为平行四边形则必须AP=BQ，即t?4=12?t，解方程即可解答．
解答：解：（1）①当P在AB上时，过P作PH⊥BC于H，t秒后，BP=tc，
∵∠B=30°，
∴PH= t，BQ=12?t，
∴S△PBQ= t（12?t）（0≤t≤4）
②当P在AD上时，过P作PH⊥BC于H，PH= AB=2
S△PBQ=（12?t）×2× =12?t（4＜t≤10）
（2）能；当P点运动t秒后，在线段AD上时，A、B、Q、P能构成一个平行四边形，
此时，AP∥BQ且AP=BQ，可得t?4=12?t，解得，t=8，
所以，运动8s后，A、B、Q、P四点恰好构成一个平行四边形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，以及变量之间的函数关系，难易程度适中．