逍遥右脑 2018-10-01 09:23
一、选择题(每小题6分，共42分)
1.(2010江苏南通九校模拟，2)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为( )
A. B.- C.4 D.-4
答案：B
解析：y=ax2 x2= y,又准线方程为y=1,故- =1,a=- .
2.(2010江苏苏州一模，5)抛物线y= x2的焦点坐标是( )
A.(0， ) B.( ，0)
C.(1，0) D.(0，1)
答案：D
解析：y= x2 x2=4y,其焦点为(0，1).
3.(2010中科大附中模拟，7)已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点(m,-2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A.4 B.-2 C.4或-4 D.2或-2
答案：C
解析：设抛物线方程为x2=-2py,(p>0),则 -(-2)=4,p=4,故抛物线方程为x2=-8y,m2=-8×(-2),m=±4.
4.(2010湖北黄冈一模，11)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点，若x1+x2=3p，则|PQ|等于( )
A.4p B.5p C.6p D.8p
答案：A
解析：|PQ|=|PF|+|FQ|=x1+ +x2+ =x1+x2+p.又x1+x2=3p,故|PQ|=4p.
5.(2010江苏南通九校模拟，9)已知点P(m,3)是抛物线y=x2+4x+n上距点?A(-2,0)最近一点，则m+n等于( )
A.1 B.3 C.5 D.7
答案：C
解析：由已知得P为抛物线的顶点(-2，3)，故3=(-2)2+4×(-2)+n,n=7,m+n=?-2+7=5.
6.(2010浙江联考，7)一动圆圆心在抛物线x2=4y上，过点(0，1)且恒与定直线l相切，则直线l的方程为( )
A.x=1 B.x= C.y=-1 D.y=-
答案：C
解析：根据抛物线定义，圆心到焦点(0,1)的距离与到准线的距离相等，故l为准线y=-1.
7.(2010北京东城区一模，8)已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A( ，4)，则|PA|+|PM|的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
答案：C
解析：|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+ - =|PA|+|PF|- ≥|AF|- = - = .
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.过点(0，2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有_____________条.
答案：3
解析：两条切线和一条平行于对称轴的直线，应填3.
9.过抛物线y2=4x的焦点F，作倾角为 的弦AB，则AB的长是_____________.
答案：
解析：利用结论|AB|= .
10.(2010湖北十一校大联考，16)设PQ是抛物线y2=2px(p>0)上过焦点F的一条弦，l是抛物线的准线，给定下列命题：①以PF为直径的圆与y轴相切;②以QF为直径的圆与y轴相切;③以PQ为直径的圆与准线l相切;④以PF为直径的圆与y轴相离;⑤以QF为直径的圆与y轴相交.则其中所有正确命题的序号是：________________________.
答案：①②③
解析：设P(x1,y1),PF中点为A( ),A到
到y轴的距离为 |PF|,故①正确;同理②也正确;又|PQ|=x1+x2+p，PQ的中点B( )到准线的距离为 ,故③正确，④⑤错误.
三、解答题(11?13题每小题10分，14题13分，共43分)
11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
(1)求证：|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
(1)证明：如右图，焦点F的坐标为F( ,0).
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ•(x- ),与抛物线方程联立，消去y并整理，得
tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .
设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
(2)解析：因|AB|= 的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，
所以，当θ= 时，|AB|有最小值2p.
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?
解析：(1)当AB⊥x轴时，m=n=p，
∴ = .
(2)当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x- ),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m= +x1,n= +x2.
将AB方程代入抛物线方程，得
k2x2-(k2p+2p)x+ =0,
∴
∴ =
= .
本题若推广到椭圆，则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).
13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.
(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
(1)证明：设M(y02,y0)，直线ME的斜率为?k(k>0),则直线MF的斜率为-k，
直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).
由 得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0•yE= ,
∴yE= ,∴xE= .
同理可得yF= ,∴xF= .
∴kEF= (定值).
(2)解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).
设重心G(x,y)，则有
消去参数y0,得y2= (x>0).
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,-3)、N(5，1)，若点C满足 =?t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.
(1)求证： ⊥ ;
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由.
(1)证明：由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= •(x-1),即y=x-4.
由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.
∴x1x2=16，x1+x2=12，
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .
(2)解析：存在点P(4，0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，
故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOA•kOB= =-1.
∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y)，
则x= (x1+x2),y= (y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.
∴弦AB的中点M的轨迹方程为： 消去k，得y2=2x-8.
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圆锥曲线的由来
圆锥曲线是圆、椭圆、抛物线与双曲线的总称,它们都可以通过不经过圆锥顶点的平面截圆锥面得到,圆锥曲线也因此而得名.
圆锥曲线是继直线、圆以后人类认识比较早的一类曲线.早在两千多年前,古希腊的数学家就开始详细研究圆锥曲线.他们曾用三种不同的圆锥面导出圆锥曲线,即用垂直于圆锥母线的平面截圆锥面,当圆锥的顶角为直角、锐角或钝角时,分别得到抛物线、椭圆和双曲线.公元前3世纪,希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonus)首次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线,并创立了相当完美的圆锥曲线理论.