逍遥右脑 2018-09-30 12:59
第3章
1．下列数值中，不是不等式5x≥2x＋9的解的是(D)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2．若a>b，则下列不等式中，不成立的是(B)
A．a－3>b－3 B．－3a>－3b
C.a3>b3 D．－a<－b
3．已知不等式组x>a，x≥1的解是x≥1，则a的取值范围是(A)
A. a<1 B. a≤1
C. a≥1 D. a>1
4．不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有(C)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是(B)
A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm
C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm
【解】 设AB＝x(cm)，则AC＝x(cm)，AB＝(20－2x)cm.根据三角形的三边关系，得x＋x>20－2x>0，20－2x＋x>x，解得5<x＜10.
∴5 cm＜AB＜10 cm.
6．若关于x的不等式组x－3（x－2）<4，a＋2x3≥x无解，则a的取值范围是(B)
A．a＜1 B．a≤1
C．a＞1 D．a≥1
【解】 解第一个不等式，得x＞1.
解第二个不等式，得x≤a.
∵不等式组无解，∴a≤1.
7．若三个连续正整数的和小于39，则这样的正整数中，最大的一组数的和是(B)
A. 39 B. 36
C. 35 D. 34
【解】 设这三个正整数分别为x－1，x，x＋1，则(x－1)＋x＋(x＋1)<39，
∴x<13.
∵x为整数，
∴当x＝12时，三个连续正整数的和最大，三个连续正整数的和为11＋12＋13＝36.
8．若关于x的不等式3x＋1<m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是(D)
A．10 B．11
C．12 D．13
【解】 解3x＋1<m，得x<m－13.
∵原不等式的正整数解是x＝1，2，3，
∴3<m－13≤4，解得10<m≤13.
∴整数m的最大值是13.
9．若关于x的不等式组5－3x≥0，x－m≥0有实数解，则实数m的取值范围是(A)
A．m≤53 B．m<53
C．m>53 D．m≥53
【解】 解不等式组5－3x≥0，x－m≥0，得x≤53，x≥m.
∵有实数解，∴m≤53.
10．某校团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派20名学生分三组到120个店铺发传单．若第一、二、三小组每人分别负责8，6，5个店铺，且每组至少有两人，则学生分组方案有(B)
A. 6种 B. 5种
C. 4种 D. 3种
【解】 设第一组有a人，第二组有b人，第三组有c人．由题意，得
a＋b＋c＝20，8a＋6b＋5c＝120，解得a＝12c，b＝20－32c.
∵a≥2，b≥2，c≥2，
∴12c≥2，20－32c≥2，∴4≤c≤12.
∵a，b，c均为整数，∴c必为2的倍数．
∴满足条件的c＝4，6，8，10，12.
∴分组方案有5种．
二、填空题(每小题2分，共20分)
11．不等式3x＋1<－2的解是x<－1．
12．已知x＜a的最大整数解为x＝3，则a的取值范围是3＜a≤4．
13．不等式组x－1<2－2x，23x>x－12的解是－3<x＜1．
14．若关于x的不等式组2x＋1＞3，a－x＞1的解为1＜x＜3，则a的值为__4__．
【解】 解2x＋1＞3，得x＞1.
解a－x＞1，得x＜a－1.
∵不等式组2x＋1＞3，a－x＞1的解为1＜x＜3，
∴a－1＝3，∴a＝4.
(第15题)
15．若关于x的不等式组x>a，x>b的解如图所示，则关于x的不等式组x<a，x≤b的解是x<a．
【解】 ∵a<b，小小取小，
∴x<a.
16．若代数式14－2x的值不大于代数式8－x2的值，则x的最小整数解是－5．
【解】 由题意，得14－2x≤8－x2，
解得x≥－316.
∴x的最小整数解是－5.
17．已知x－y＝3，且x＞2，y＜1，则x＋y的取值范围是1＜x＋y＜5．
【解】 由x－y＝3，得x＝y＋3.
∵x＞2，∴y＋3＞2，解得y＞－1.
又∵y＜1，∴－1＜y＜1.
把x＝y＋3代入x＋y，
得x＋y＝y＋3＋y＝2y＋3，
而1<2y＋3<5，
∴1＜x＋y＜5.
18．五条长度均为整数的线段a1，a2，a3，a4，a5满足a1<a2<a3<a4<a5，其中a1＝1，a5＝9，且这5条线段中任意三条都不能构成三角形，则a3＝__3__．
【解】 由题意，得a1＋a2≤a3，a2＋a3≤a4，a3＋a4≤a5，
∴当a1＝1时，a2＝2，a3＝3，a4＝5或6，a5＝9，
∴a3＝3.
19．某班有48名学生会下象棋或围棋，会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多有9人，但不少于5人，则会下围棋的有19或20人．
【解】 设会下围棋的有x人，则会下象棋的有(2x－3)人．
根据题意，得5≤x＋(2x－3)－48≤9，
解得563≤x≤20.
∵x 为正整数，∴x＝19或20.
20．如图，按下面的程序进行运算．
(第20题)
规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是4＜x≤5．
【解】 第1次，结果是2x－3;
第2次，结果是2×(2x－3)－3＝4x－9;
第3次，结果是2×(4x－9)－3＝8x－21;
第4次，结果是2×(8x－21)－3＝16x－45;
第5次，结果是2×(16x－45)－3＝32x－93，
∴32x－93＞35，16x－45≤35，
解得4＜x≤5.
三、解答题(共60分)
21．(12分)解下列不等式或不等式组：
(1)3(x＋2)－1≤11－2(x－2)(在数轴上表示它的解)．
【解】 3x＋6－1≤11－2x＋4，5x≤10，∴x≤2.在数轴上表示如下：
(第21题解)
(2)x2－1≤7－x3.
【解】 去分母，得3x－6≤2(7－x)．
去括号，得3x－6≤14－2x.
移项，得3x＋2x≤14＋6.
合并同类项，得5x≤20.
解得x≤4.
(3)2（x－1）≤－1，2x＋3＞1.
【解】 解2(x－1)≤－1，得x≤12.
解2x＋3＞1，得x＞－1.
∴－1＜x≤12.
(4)2x－6＜3x，x＋25－x－14≥0.
【解】 解2x－6＜3x，得x＞－6.
解x＋25－x－14≥0，得x≤13.
∴－6<x≤13.
22．(6分)已知关于x的两个不等式3x＋a2<1与1－3x>0.
(1)若两个不等式的解相同，求a的值．
(2)若不等式3x＋a2<1的解都是不等式1－3x>0的解，求a的取值范围．
【解】 (1)解不等式3x＋a2<1，得3x＋a<2，
3x<2－a，∴x<2－a3.
解不等式1－3x>0，得x<13.
∴2－a3＝13，∴a＝1.
(2)∵不等式3x＋a2<1的解都是不等式1－3x>0的解，
∴2－a3≤13，解得a≥1.
23．(6分)试确定实数a的取值范围，使不等式组x2＋x＋13>0，x＋5a＋43>43（x＋1）＋a恰好有两个整数解．
【解】 解不等式x2＋x＋13>0，得x＞－25.
解不等式x＋5a＋43>43(x＋1)＋a，得x＜2a.
∵原不等式组有解，
∴原不等式组的解为－25<x<2a.
∵该不等式组恰好有两个整数解，
∴整数解为0和1，
∴1＜2a≤2，∴12<a≤1.
24．(7分)已知关于x的不等式组－x－1≥－2x＋1，12（x－2a）＋12x<0，其中实数a是不等于2的常数，请依据a的取值情况求出不等式组的解．
【解】 －x－1≥－2x＋1，①12（x－2a）＋12x<0，②
解不等式①，得x≥2.
解不等式②，得x＜a.
当a＞2时，不等式组的解为2≤x＜a；
当a＜2时，不等式组无解．
25．(9分)已知关于x，y的二元一次方程组x＋y＝－7－a，x－y＝1＋3a的解中，x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围．
(2)化简：|a－3|＋|a＋2|.
(3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1?
【解】 (1)解x＋y＝－7－a，x－y＝1＋3a，得x＝a－3，y＝－2a－4.
∵x为非正数，y为负数，
∴x≤0，y＜0，即a－3≤0，－2a－4＜0，解得a≤3，a>－2.
∴a的取值范围是－2＜a≤3.
(2)∵－2＜a≤3，∴a－3≤0，a＋2＞0，
∴|a－3|＋|a＋2|＝3－a＋a＋2＝5.
(3)不等式2ax＋x＜2a＋1可化简为
(2a＋1)x＜2a＋1.
∵不等式的解为x＞1，
∴2a＋1＜0，∴a＜－12.
又∵－2＜a≤3，∴－2＜a＜－12.
∵a为整数，∴a＝－1.
26．(8分)为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价．
(2)若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
【解】 (1)设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是(x＋10)元．
根据题意，得180x＋10＝120x，解得x＝20.
经检验，x＝20是原方程的根，且符合题意．
∴x＋10＝30.
答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元．
(2)设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品(1000－a)件．根据题意，得
20(1000－a)＋30a≤28000，
解得a≤800.
答：最多购买B型学习用品800件．
27．(12分)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年5月份A款汽车的售价比前年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，前年销售额为100万元，去年销售额只有90万元．
(1)去年5月份A款汽车每辆售价是多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
(3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元．若要使(2)中所有的方案获利相同，则a的值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？
【解】 (1)设去年5月份A款汽车每辆售价是m万元，则
90m＝100m+1，解得m＝9.
经检验，m＝9是原方程的根，且符合题意．
答：去年5月份A款汽车每辆售价是9万元．
(2)设购进A款汽车x辆，购进B款汽车(15－x)辆，则
99≤7.5x＋6(15－x)≤105，
解得6≤x≤10.
∵x为自然数，∴x＝6或7或8或9或10，
∴共有5种进货方案．
(3)设总获利为W元，则
W＝(9－7.5)x＋(8－6－a)(15－x)
＝(a－0.5)x＋30－15a.
当a＝0.5时，(2)中所有方案获利相同．
此时总成本＝7.5x＋(6＋a)(15－x)＝(x＋97.5)万元，故当x取6时总成本最少．
故购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．