逍遥右脑 2018-09-14 14:03
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则 ( )
A．n⊥β B．n∥β，或n⊂β
C．n⊥α D．n∥α，或n⊂α
3..若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线
4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
A.a2 B．2a2 C.a2 D.a2
5.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．1
6．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）
A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形
C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形
7．如右图所示，正方体ABCD¬A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A¬BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
8．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于 ( )
A．8π B．16π
C．48π D．不确定的实数
9．已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
10.三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N 分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x变化关系(x∈(0,3))是 ( )
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 。
12. 在中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为 .
13．长方体中，，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到点的最短距离是 。
14．在棱长为1的正方体AC1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PE⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为________．
15. 四面体ABCD中，有以下命题：
①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；
②若E、F、G分别是BC，AB，CD的中点，则∠EFG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心；
④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体．
其中正确命题序号是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中
中点。
（1）求证：BC1//平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积。
18.在直三棱柱中，，，且异面直线与 所成的角等于，设．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小．
19.如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于
点E，AF⊥PB于点F，求证：
(1)AE⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面PBC；
(3)PB⊥EF.
20.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在
平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB.
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
21.三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。
（1）证明：平面GFE//平面PCB；
（2）求二面角B-AP-C的正切值；
（3）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值。
1~10 ADABA DDBBA
11~15 6πa2 2 ①③
16.解答：（1）连接AC1交A1C于E，连接DE，∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点。
又CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。
又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=。
18.解:（1），
就是异面直线与所成的角，
即，……（2分）
连接，又，则
为等边三角形，……………………………4分
由，，
；………5分
（2）取的中点，连接，过作于，
连接，,平面
又，所以平面，即，
所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。…………7分在中，，，,
，…………………………11分
因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………12分
说明：取的中点，连接，…………同样给分（也给12分）
19证明：(1)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又因为PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.
又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.
又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
(2)因为AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，
所以AE⊥PB.
又AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.
解析：(1)方法一，如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.
在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
方法二，如图，取AD中点G
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD
又易知△ABD为正三角形
∴AD⊥BG.
又BG，PG为平面PBG内的两条相交直线，
∴AD⊥平面PBG.
∴AD⊥PB.
(2)连接CG与DE相交于H点，
在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，
∴FH⊥平面ABCD，
∴平面DHF⊥平面ABCD，
∵H是CG的中点，∴F是PC的中点，
∴在PC上存在一点F，即为PC
的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.
21.解答：（1）因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，所以EF//BC，GF//CP。因为EF，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。
（2）过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB。因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依条件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。
（3）如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，因为ΔPCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因为AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M。因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。容易求出PF=，FM=，所以sin∠MPF==.即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是