逍遥右脑 2014-05-13 12:33
吉林省白城市镇赉县胜利中学2012-2013学年八年级（上）期中数学试卷
一、（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边
考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定．.
分析：考虑是否符合三角形全等的判定即可．
解答：解：A、B、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出唯一三角形；
C、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才成立．
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的判断方法，在已知两边的情况下，对应的两边必须夹角，才能判断三角形全等．
2．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠B的平分线，若∠BDC=72°，则∠A等于（ ）
A．16°B．36°C．48°D．60°
考点：等腰三角形的性质．.
分析：设∠A等=x，则∠ABD= ，∵∠BDC=∠A+∠ABD，所以可列方程，求解即可．
解答：解：设∠A=x，则∠ABD= ，
∵∠BDC=∠A+∠ABD
∴x+ =72°，
解得x=36°
∴∠A等于36°．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质．列方程解答几何问题是一种比较常用的方法，要注意掌握应用．
3．（3分）与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三边的垂直平分线的交点
考点：线段垂直平分线的性质．.
分析：可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．
解答：解：如图：
∵OA=OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA=OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，
又三个交点相交于一点，
∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选D．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质；题目比较简单，只要熟知线段垂直平分线的性质即可．分别思考，两两满足条件是解答本题的关键．
4．（3分）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．正方形D．长方形
考点：轴对称图形．.
分析：根据轴对称图形的概念求解，确定各个图形有几条对称轴．
解答：解：A、等腰直角三角形有一条对称轴；
B、等边三角形有三条；
C、正方形有四条；
D、长方形有两条对称轴．
故选A．
点评：掌握好轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
5．（3分）若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（ ）
A．30°B．50°C．80°D．50°或80°
考点：等腰三角形的性质；三角形的外角性质．.
分析：等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
解答：解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，
②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
6．（3分）在实数?7.5， ，4， ，?π，0.15， 中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点：无理数．.
专题：存在型．
分析：先把 化为2的形式，再根据无理数的概念进行解答即可．
解答：解：∵ =2，
∴这一组数中的无理数有： ，?π共2个．
故选A．
点评：本题考查的是无理数的定义，即其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．（3分）满足? 的整数共有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
考点：估算无理数的大小．.
专题：探究型．
分析：先估算出? 与 的取值范围，在数轴上标出各点即可得出结论．
解答：解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，
∴?3＜? ＜?2，
∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴? 与 在数轴上的位置如图所示：
∴x的整数值可以是?2，?1，0，1，共4个．
故选A．
点评：本题考查的是估算无理数的大小，能利用数形结合求出x的整数值是解答此题的关键．
8．（3分） 是 的（ ）倍．
A．10B．100C．1000D．10000
考点：算术平方根．.
分析：利用 = × 进而得出两数的倍数关系．
解答：解：∵ = × =10 ，
∴ 是 的10倍，
故选：A．
点评：此题主要考查了算术平方根的定义以及二次根式的计算，根据二次根式的性质得出是解题关键．
9．（3分）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是（ ，? ），先将点A向右平移3个单位长度，然后向上平移3 个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（3 ，3 ）B．（ +3，2 ）C．（ ?3，?4 ）D．（3，3 ）
考点：坐标与图形变化-平移．.
分析：根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求解即可．
解答：解：∵点A的坐标是（ ，? ），右平移3个单位长度，
∴横坐标为 +3，
∵向上平移3 个单位，
∴纵坐标为? +3 =2 ，
∴点B的坐标为（ +3，2 ）．
故选B．
点评：本题考查了坐标与图形的变化?平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
10．（3分）已知△ABC中，∠A=n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（ ）
A．90°? B．90°+ C．180°?n°D．180°?
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．.
专题：．
分析：根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，最后根据三角形内角和定理即可求解．
解答：解：∵∠A=n°
∴∠ABC+∠ACB=180°?n°
∵角平分线BE、CF相交于O
∴∠OBC+∠OCB= （180°?n°）
∴∠BOC=180°? （180°?n°）=90°+ n°
故选B．
点评：此题主要考查角平分线的定义及三角形内角和定理的综合运用．
二、题（每题3分，共30分）
11．（3分）已知2?x=14，则 = 4 ．
考点：算术平方根；绝对值．.
分析：根据绝对值的性质，先把绝对值去掉，再进行移项，即可求出x的值后求其算术平方根即可．
解答：解：∵2?x=14，
∴2?x=±14
解得：x=?12或x=16
∴ = =4
故答案为：4．
点评：本题考查了算术平方根及绝对值的知识，解题时要注意x的值有两种情况，不要漏掉是解题的关键，注意负数没有平方根．
12．（3分）若x=2? ，则x= 或?2+ ．
考点：实数的性质．.
分析：根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，因而若x=a（a＞0），则x=±a，据此即可求解．
解答：解：若x=2? ，则x= 或?2+ ．
故答案是： 或?2+ ．
点评：此题主要考查了绝对值的性质，理解若x=a（a＞0），则x=±a是解决本题的关键．
13．（3分）当x 大于?1小于1 时， 无意义．
考点：二次根式有意义的条件．.
分析：根据二次根式有意义的条件可得：x2?1＜0，再解不等式即可．
解答：解：∵ 无意义．
∴x2?1＜0，
解得：?1＜x＜1，
故答案为：大于?1小于1．
点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14．（3分）如图，已知△ABC和△A′B′C′关于N对称，并且AB=5，BC=3，则A′C′的取值范围是 2＜A′C′＜8 ．
考点：轴对称的性质．.
分析：根据△ABC和△A′B′C′关于N对称，得出△ABC≌△A′B′C′，即可得出AC=A′C′，再利用三角形三边关系得出A′C′的取值范围．
解答：解：∵△ABC和△A′B′C′关于N对称，
∴得出△ABC≌△A′B′C′，
∴AC=A′C′，
∵AB?BC＜AC＜AB+BC，
∴5?3＜AC＜5+3
∴A′C′的取值范围是：2＜A′C′＜8．
故答案为：2＜A′C′＜8．
点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，利用两图形全等得出AC=A′C′，再利用三角形三边关系得出是解题关键．
15．（3分）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= a 时，△AOP为等边三角形．
考点：等边三角形的判定．.
分析：根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
解答：解：∵AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
点评：本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
16．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，∠A=44°，∠B=67°，∠C′=69°，∠B′=44°，且AC=B′C′，则这两个三角形 一定 全等（填“一定”或“不一定”）
考点：全等三角形的判定．.
分析：首先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，再根据角的数量关系可得∠C=∠C′，∠A=∠B′，再加上AC=B′C′，可利用ASA证明△ACB≌△B′C′A′．
解答：解：∵∠A=44°，∠B=67°，
∴∠C=180°?44°?67°=69°，
在△ACB和△B′C′A′中，
，
∴△ACB≌△B′C′A′（ASA）．
故答案为：一定．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17．（3分）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AB=20c，则△DBE的周长为 20c ．
考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．.
分析：作出图形，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，然后求出△DBE的周长=AB，代入数据即可得解．
解答：解：如图，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE，
根据角平分线的对称性，AE=AC，
∴BC+BE=AE+BE=AB，
∵AB=20c，
∴△DBE的周长=20c．
故答案为：20c．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
18．（3分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 = ?1 ．
考点：实数的运算．.
专题：．
分析：先根据平方差公式将原式因式分解，再根据a、b互为相反数，c、d互为倒数求出a+b=0，cd=1，然后整体代入即可．
解答：解：∵原式= ? ，
又∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
∴原式= ? =0?1=?1，
故答案为?1．
点评：本题考查了实数的运算，熟练掌握因式分解的定义及相反数、倒数的定义是解题的关键．
19．（3分）已知等腰△ABC，以底边BC所在直线为x轴，以底边BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，若B点坐标为（?2，0），则C点坐标为 （2，0） ．
考点：等腰三角形的性质；坐标与图形性质．.
分析：BC的中垂线为y轴，而BO=2，根据线段的垂直平分线的定义可得C点坐标．
解答：解：如图：若B点坐标为（?2，0），则C点坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
点评：本题主要考查线段的垂直平分线的定义．线段的垂直平分线简称线段的中垂线．
20．（3分）如图，点EF在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O，则△OEF的形状是
等腰三角形 ．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．.
专题：计算题．
分析：由BE=CF，得到BF=CE，再由已知的两对角相等，利用AAS得出三角形ABF与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再利用等角对等边得到OE=OF，即可确定出三角形OEF为等腰三角形．
解答：解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（AAS），
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
则△OEF的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
一、解答题
21．（10分）（1）解方程：（3y+1）2=25
（2）根据图象所示化简：a，b为实数，试化简： ．
考点：二次根式的性质与化简；平方根；实数与数轴．.
分析：（1）首先利用平方根的定义求得3y+1的值，然后解一元一次方程求的x的值；
（2）首先根据数轴确定a，b的大小和符号，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可化简．
解答：解：（1）（3y+1）2=25
3y+1=±5，
当3y+1=5时，
当3y+1=?5时，y=?2
（2）根据数轴可以得到：a＜0＜b，
∴a?b＜0
∴
=a?b?a
=?b
点评：考查了实数与数轴、平方根和二次根式的性质与化简解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时， 表示a的算术平方根；当a=0时， =0；当a＜0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
②性质： =a．
22．（8分）已知，如图，AB=BC，DE=BE，且∠B=90°，ED⊥AC于D，求证：∠EAD= ∠C．
考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．.
专题：证明题．
分析：根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠C，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判定∠EAD= ∠BAC，从而得解．
解答：证明：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
∵DE=BE，且∠B=90°，DE⊥AC，
∴∠EAD= ∠BAC，
∴∠EAD= ∠C．
点评：本题考查了角平分线的判定，等腰直角三角形的性质，熟记性质与判定方法是解题的关键．
23．（8分）如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB．求证：
（1）AP=AQ；
（2）AP⊥AQ．
考点：全等三角形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：（1）首先证明∠FCA=∠ABP，再加上条件BP=AC，CQ=AB可以证明△QAC≌△APB进而得到AP=AQ；
（2）根据△QAC≌△APB可得∠AQF=∠PAF，再证明∠FQA+∠FAQ=90°可得∠FQA+∠PAF=90°，进而得到∠PAQ=90°，即可证出AP⊥AQ．
解答：证明：（1）∵AC⊥BE，AB⊥QC，
∴∠BFP=∠CEP=90°，
∴∠BAC+∠FCA=90°，∠ABP+∠BAC=90°
∴∠FCA=∠ABP，
在△QAC的△APB中， ，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AP=AQ；
（2）∵△QAC≌△APB，
∴∠AQF=∠PAF，
又AB⊥QC，
∴∠QFA=90°，
∴∠FQA+∠FAQ=90°，
∴∠FQA+∠PAF=90°，
即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及垂直，关键是证明△QAC≌△APB，根据全等可证明角和边的相等关系．
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF= AB，已知△ABE≌△ADF．
（1）在图中可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；
（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．
考点：旋转的性质；直角三角形全等的判定；正方形的性质．.
专题：探究型．
分析：（1）根据旋转的概念得出；
（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．
解答：解：（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．
证明：（2）BE=DF，BE⊥DF；
延长BE交DF于G；
由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；
又∠AEB=∠DEG；
∴∠DGB=∠DAB=90°；
∴BE⊥DF．
点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时考查了正方形和直角三角形性质．
25．（12分）若a，b满足5a?2b=4，且能使关于x的方程6xb?a+7=0是一元一次方程，求 的值．
考点：二次根式的化简求值；一元一次方程的定义；解二元一次方程组．.
专题：计算题．
分析：由已知方程为一元一次方程，得到x的指数b?a=1，进而得到a=b?1，代入已知的等式5x?2b=4中，求出b的值，确定出a的值，将a与b的值代入所求式子中计算，即可求出值．
解答：解：根据题意，b?a=1，即a=b?1，
把a=b?1代入5a?2b=4中，得b=3，
把b=3代入a=b?1=3?1=2，即a=2，
当a=2，b=3时，a2+b2+2ab? =4+9+12?6=19．
点评：此题考查了二次根式的化简求值，一元一次方程的定义，以及解二元一次方程组，求出a与b的值是解本题的关键．
26．（12分）在直角坐标系中，A（?3，4），B（?1，?2），O为原点．
（1）求△AOB的面积；
（2）将这个三角形向上平移 个单位长度，得△A′O′B′，再作△A′O′B′关于y轴的对称图形△A″O″B″，试写出△A′O′B′和△A″O″B″各顶点的坐标．
考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．.
分析：（1）把△ABO放在一个矩形里，用矩形的面积减去周围多余的三角形的面积即可；
（2）根据点的坐标平移规律：向上移，横坐标不变，纵坐标加，即可得到△A′O′B′的各点坐标，再根据关于y轴的对称的点的坐标特点可得△A″O″B″各顶点的坐标．．
解答：解：（1）S△AOB=6×3? ×3×4? ×2×6? ×1×2=5；
（2）∵A（?3，4），B（?1，?2），O（0，0），
∴ ； ； ；
∵△A′O′B′关于y轴的对称图形△A″O″B″，
∴ ； ； ．
点评：此题主要考查了三角形的面积计算，以及点的变化规律，关键是掌握关于y轴对称时，点的坐标的变化规律：横坐标变相反数，纵坐标不变．