平均变化率

目标：
1.通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地导数的几何意义。
3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。
重难点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义
教学过程：
一、问题情境
1、情境：
某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”

时间4月18日4月19日4月20日
日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃

该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:


问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？
问题2：分别计算AB、BC段温差
结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度
问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？
曲线AB、BC段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？

(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=
二、建构数学
一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：

说明：
(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”
(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？

(1)1kg/月
(2)0.4kg/月
结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。
变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：
（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？
（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？

图1 图2

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s内V的平均变化率。

解:在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为
注：负号表示容器甲中水在减少

变式1：
　一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水前t s容器里水的体积的平均变化率.
解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3
由题意知 V=nt ，在[0,t]内容器里水的体积的平均变化率为:

由此可见当t越来越大时，容器里水的体积的平均变化率保持不变。

例3、已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；（3）[1，1.1]；
（2）[1，2]；（4）[1，1.001]。
(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3
(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001

例3引申： 已知函数
问题(1)求函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率；
(1)函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率为a+1

问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a] 上的平均变化率有何趋势？
(2)当a趋近于1时，函数在[1,a] 上的平均变化率趋近于2

求函数y = f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：

小结：
问题1：本节课你学到了什么？
①函数的平均变化率的概念；
②利用平均变化率来分析解决实际问题
问题2、解决平均变化率问题需要注意什么？
① 分清所求平均变化率类型
(即什么对象的平均变化率)
② 两种处理手段 ：
(1)看图 (2)计算
问题3、本节课体现了哪些数学思想方法？
①数形结合的思想方法

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