平均变化率

逍遥右脑  2014-03-20 13:25

目标:
1.通过大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地导数的几何意义。
3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程,进一步感受变量数学的思想方法。
重难点:
导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵。导数的几何意义
教学过程:
一、问题情境
1、情境:
某市2008年4月20日最高气温为33.4℃,而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃,短短两天时间,气温陡增14.8℃,闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了!”

时间4月18日4月19日4月20日
日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃

该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:


问题1:你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗?
问题2:分别计算AB、BC段温差
结论:气温差不能反映气温变化的快慢程度
问题3:如何“量化”(数学化)曲线上升的陡峭程度?
曲线AB、BC段几乎成了“直线”, 由此联想如何量化直线的倾斜程度?

(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=
二、建构数学
一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为:

说明:
(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”
(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”,但应注意当x2—x1很小时,这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率;由此你能得到什么结论?

(1)1kg/月
(2)0.4kg/月
结论:该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。
变式:甲、乙两人跑步,路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示,试问:
(1)在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快?
(2)甲、乙两人百米赛跑,问快到终点时,谁跑的较快?

图1 图2

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s后容器甲中水的体积 (单位: )计算第一个10s内V的平均变化率。

解:在区间[0,10]上,体积V的平均变化率为
注:负号表示容器甲中水在减少

变式1:
 一底面半径为r cm,高为h cm的倒立圆锥容器,若以n cm3/s的速率向容器里注水,求注水前t s容器里水的体积的平均变化率.
解:设注水ts时,容器里水的体积Vcm3
由题意知 V=nt ,在[0,t]内容器里水的体积的平均变化率为:

由此可见当t越来越大时,容器里水的体积的平均变化率保持不变。

例3、已知函数 ,分别计算 在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];(3)[1,1.1];
(2)[1,2];(4)[1,1.001]。
(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3
(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001

例3引申: 已知函数
问题(1)求函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率;
(1)函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率为a+1

问题(2)当a趋近于1时,函数在[1,a] 上的平均变化率有何趋势?
(2)当a趋近于1时,函数在[1,a] 上的平均变化率趋近于2

求函数y = f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的步骤:

小结:
问题1:本节课你学到了什么?
①函数的平均变化率的概念;
②利用平均变化率来分析解决实际问题
问题2、解决平均变化率问题需要注意什么?
① 分清所求平均变化率类型
(即什么对象的平均变化率)
② 两种处理手段 :
(1)看图 (2)计算
问题3、本节课体现了哪些数学思想方法?
①数形结合的思想方法

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报,一经查实,本站将立刻删除。
上一篇:命题及其关系
下一篇:归纳推理

逍遥右脑在线培训课程推荐

【平均变化率】相关文章
【平均变化率】推荐文章