2013年高三数学二模理科试卷（房山区附答案）

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房山区2013年高考第二次模拟试卷
数 学 （理科）
本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若?p∨q是假命题，则
A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题
C. p是假命题D. ?q是假命题
2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是
A.
B.
C.
D.
3.如图， 是⊙O上的四个点，过点B的切线与 的
延长线交于点E.若 ，则
A.
B.
C.
D.
4.设平面向量 ，若 // ，则 等于
A.
B.
C.
D.
5.已知 是不等式组 所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的
最大值是
A.
B.
C.
D.
6.已知数列 的前 项和为 , , ,则
A. B.
C.
D.
7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的表面积为
A．
B.
C.
D.
8.定义运算 ，称 为将点 映到点 的
一次变换.若 ＝ 把直线 上的各点映到这点本身，而把直线
上的各点映到这点关于原点对称的点.则 的值依次是
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内，复数 对应的点的坐标为 .
10.直线 的参数方程为 （t为参数），则直线 的斜率为 .
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是 . ，则 .
12.若 展开式中的二项式系数和为 ，则 等于 ，该展开式中的常数项为 .
13.抛物线 的焦点坐标为 ，则抛物线 的方程为 ，若点 在抛物线
上运动，点 在直线 上运动，则 的最小值等于 .
14.在数列 中，如果对任意的 ，都有 （ 为常数），则称数列 为
比等差数列， 称为比公差．现给出以下命题：
①若数列 满足 ，则该数列不是比等差数列；
②若数列 满足 ，则数列 是比等差数列，且比公差 ；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④若 是等差数列， 是等比数列，则数列 是比等差数列．
其中所有真命题的序号是 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数 的最小正周期为 ，且图象过点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，求函数 的单调递增区间.
16.（本小题满分14分）
如图, 是正方形， 平面 ，
， .
(Ⅰ) 求证： ；
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，
使得 平面 ，证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 ．
（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数 的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．
18.（本小题满分13分）
已知函数 （ ）.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时， 取得极值.
① 若 ，求函数 在 上的最小值；
② 求证：对任意 ，都有 .
19.（本小题满分14分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 ．直线
交椭圆 于 , （不与点 重合）两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明
理由．
20.（本小题满分13分）
设 ，对于项数为 的有穷数列 ，令 为 中的最大值，称数列 为 的“创新数列”．例如数列 3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 ．
（Ⅰ）若 ，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列 ；
（Ⅱ）是否存在数列 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）是否存在数列 ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列 的个数；若不存在，请说明理由．
房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案
数 学 （理科） 2013.05
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11.
12. 13. 14. ①②
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）由最小正周期为 可知 ， ………………2分
由 得 ，
又 ，
所以 ， ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以
…………………………………………………………………9分
解
得 ……………………………12分
所以函数 的单调增区间为 .
…………………………………………………13分
16（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明： 因为 平面 ，
所以 . ……………………1分
因为 是正方形，
所以 ，
所以 平面 , …………………3分
从而 ……………………4分
(Ⅱ)解：因为 两两垂直，
所以建立空间直角坐标系 如图所示. …………5分
设 ，可知 . ……………………6分
则 , ， ， ， ， ，
所以 ， ， ………………7分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 . …………………8分
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ，
所以 ………………………………………9分
因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . …………10分
(Ⅲ)解：点 是线段 上一个动点，设 .
则
因为 平面 ，
所以 ， ……………11分
即 ，解得 . ……………13分
此时，点 坐标为 ， ，符合题意. ……………14分
17（本小题满分13分）
（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A事件，则
． ………………2分
（Ⅱ）依题意， 的可能取值为0，1，2．
，
，
． ………………………………8分
随机变量 的分布列为：
………………………………………………9分
． ………………10分
（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为 ，则 ，
所以 ． ………………12分
因为 ，所以选择路线1上学最好． ………………13分
18（本小题满分13分）
（Ⅰ） …………1分
当 时，
解 得 或 , 解 得 ……………2分
所以 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ………3分
（Ⅱ）①当 时， 取得极值， 所以
解得 （经检验 符合题意） ……………4分
?
??
所以函数 在 ， 递增，在 递减. ……5分
当 时， 在 单调递减，
………………6分
当 时
在 单调递减，在 单调递增，
. ………………7分
当 时， 在 单调递增，
……………………8分
综上， 在 上的最小值
……………………9分
②令 得 （舍）
因为
所以 ……………11分
所以，对任意 ，都有
……………13分
19（本小题满分14分）
（Ⅰ） ， ，
， ，
． ------------------------------------------3分
（Ⅱ）设 ， ，
由
① ②----------------------5分
， --------------------8分
设 为点 到直线BD： 的距离，
--------------------10分
----------------------13分
当且仅当 时等号成立
∴当 时， 的面积最大，最大值为 ----------------14分
20（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列 有6个，
3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分
3，5，1，4，2；　　　
3，5，2，1，4；
3，5，2，4，1；
3，5，4，1，2；
3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分
（Ⅱ）存在数列 的创新数列为等比数列． 设数列 的创新数列为 ，
因为 为前 个自然数中最大的一个，所以 ．若 为等比数列，
设公比为 ，因为 ，所以 ．……………7分
当 时， 为常数列满足条件，即为数列
当 时， 为增数列，符合条件的数列只能是 ，
又 不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．
………………………………………………………………8分
（Ⅲ）存在数列 ，使它的创新数列为等差数列，
设数列 的创新数列为 ，因为 为前 个自然数中最大的一个，
所以 ．若 为等差数列，设公差为 ，
因为 ，所以 ．且
当 时， 为常数列满足条件，即为数列 （或写通项公式 ），
此时数列 是首项为 的任意一个排列，共有 个数列；
………………………………………11分
当 时，符合条件的数列 只能是 ，此时数列 是 ，
有1个；
当 时， 又
这与 矛盾，所以此时 不存在.
综上满足条件的数列 的个数为 个（或回答 个）．
……………………………………………13分


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