三角形内角和定理的证明

目标
（一）知识认知要求
三角 形的内角和定理的证明.
（二）能力训练要求
掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.
（三）情感与价值观要求
通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.
重点
三角形内角和定理的证明.
教学难 点
三角形内角和定理的证明方法.
教学过程
一、巧设现实情境， 引入新课
大家来看一机器零件（投影）
为什么铣刀偏转35°角 ，就能得到55°的燕尾槽底角呢 ？
二、讲授新课
为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验）
用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2 BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接 近于0°.
三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.
在三角形中，最大的内角有没有等于或 大于180°的？
三角形的最大内角不会大于或等于180°.
看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这 时，∠B、∠C逐渐 接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
猜一猜：三角形的内角和可 能是多少？
这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（1） （2） （3） （4）
实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.
但观察与实验得到的结论，并不一 定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.

这里有两个全等的 三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A， 把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时，∠A与 ∠A CE能重合吗？
这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.

已知，如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°
证 明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直 线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：∠A+∠B+∠C=180°.
通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和 定理.
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是 把三个角“凑”到A 处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.
小明的想法 可行.因为：∵PQ∥BC（已作）
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C
也可以在三角形的一边上任取一点 ，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.

即：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.
∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）
∠BDF=∠C（两 直线平行，同位角 相等）
∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）
∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
三、课堂练习
四.课时小结
这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基 本思想 是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一 起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.
五、作业 习题6.6
六、活动与探究
1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图（2））“ 凑”到三角形外一点呢？（如图（3 ）），你还能想出其他证法吗？
（1） （2） （3）
让学生在证明 这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.
［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形 外一点.证明略.

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