第八章平面向量(高中数学竞赛标准教材)

第八章 平面向量

一、基础知识
定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. a表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数 0，使得a= f
定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为 ，则a, b的数量积记作a?b=a?bcos =a?bcos，也称内积，其中bcos 叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，
1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，
2．λa=(λx1, λy1), a?(b+c)=a?b+a?c，
3．a?b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= (a, b 0),
4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.
定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使 ，λ叫P分 所成的比，若O为平面内任意一点，则 。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则
定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移a= 个单位得到图形 ，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到 上对应的点为 ，则 称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), a?b≤a?b，并且a+b≤a+b.
【证明】 因为a2?b2-a?b2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又a?b≥0, a?b≥0，
所以a?b≥a?b.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得a+b≤a+b.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有a?b≤a?b，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又a?b≥0, a?b≥0，
所以a?b≥a?b.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得a+b≤a+b.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有a?b≤a?b，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有 a1, a2, …,an≤ a1+a2+…+an。
二、方向与例题
1．向量定义和运算法则的运用。
例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：
【证明】 记 ，若 ，则将正n边形绕中心O旋转 后与原正n边形重合，所以 不变，这不可能，所以
例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是
【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则
又因为BC与GP互相平分，
所以BPCG为平行四边形，所以BG PC，所以
所以
充分性。若 ，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则 因为 ，则 ，所以GB CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】 如图所示，结结BQ，QD。
因为 ，
所以
= ?
= ①
又因为
同理 ， ②
， ③
由①，②，③可得
。得证。
2．证利用定理2证明共线。
例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。
【证明】 首先
=

其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE
又AH BC，所以AH//CE。
又EA AB，CH AB，所以AHCE为平行四边形。
所以
所以 ，
所以 ，
所以 与 共线，所以O，G，H共线。
所以OG：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b. 求证：a+b=a-b的充要条件是a b.
【证明】a+b=a-b (a+b)2=(a-b)2 a2+2a?b+b2=a2-2a?b+b2 a?b=0 a b.
例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OE CD。
【证明】 设 ，
则 ，

又 ，
所以

a?(b-c). （因为a2=b2=c2=OH2）
又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。
所以a?(b-c)=0. 所以OE CD。
4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。
【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则 =(x, y-1), ，因为 ，所以-x-(y-1)=0.
又因为 ，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
设 ，则 。由 和 共线得
所以 ，即F ，
所以 =4+ ，所以AF=AE。
三、基础训练题
1．以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是a=b，且a//b；②(a?b)?c=(a?c)?b；③若a?b=a?c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若 ，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：① ；② ；③ ；④ 与 ，相等的有__________.
3．已知a=y-x, b=2x-y, a=b=1, a?b=0，则x+y=__________.
4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若sa+tb=ta-sb，则a和b的夹角为__________.
5．已知a, b不共线， =a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.
6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且 ，BM与CN交于D，若 ，则λ=__________.
7．已知 不共线，点C分 所成的比为2， ，则 __________.
8．已知 =b, a?b=a-b=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.
9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 若 ，c?b=4，则b的坐标为__________.
10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b，则b的坐标为__________.
11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问 与 的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值。
12．在四边形ABCD中， ，如果a?b=b?c=c?d=d?a，试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题
1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足 则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。
2．在△ABC中， ，且a?b<0，则△ABC的形状是__________.
3．非零向量 ，若点B关于 所在直线对称的点为B1，则 =__________.
4．若O为△ABC 的内心，且 ，则△ABC 的形状为__________.
5．设O点在△ABC 内部，且 ，则△AOB与△AOC的面积比为__________.
6．P是△ABC所在平面上一点，若 ，则P是△ABC 的__________心.
7．已知 ，则 的取值范围是__________.
8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.
9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则 的最小值为__________.
10．已知集合M={aa=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={aa=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M N=__________.
11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知 ，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，
（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求 的取值范围。
12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得 成公差小于零的等差数列。
（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0), 为 与 的夹角，求tan .

五、联赛一试水平训练题
1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q满足 时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且 ，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.
2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点， 则 =___________（用a, b, c, x, y, z表示）.
3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若ka+b+c>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.
4．平面内四点A，B，C，D满足 ，则 的取值有___________个.
5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则 取值的集合是___________.
6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA? +sinB? +sinC? ，则点O为△ABC 的___________心.
7．对于非零向量a, b, “a=b”是“(a+b) (a-b)”的___________条件.
8．在△ABC 中， ，又(c?b)：(b?a)：(a?c)=1：2：3，则△ABC 三边长之比a：b：c=____________.
9．已知P为△ABC内一点，且 ，CP交AB于D，求证：
10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令 ，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。
11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到 的变换T，由T(x)=-x+2(x?a)a(x∈V)确定，
（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)?T(y)=x?y；
（2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；
（3）设u=(1, 0)； ，若 ，求a.
六、联赛二试水平训练题
1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点， 为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点， 为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。
2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.
3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。
4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。
5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？
6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的 AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。
7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB DF，OC DE，（2）OH MN。
8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作 ，求证△ABC为正三角形。
9．在平面上给出和为 的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：
a+b+c+d≥a+d+b+d+c+d.

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