绵阳市2013届高中毕业班第三次诊断性考试
数学（文科） 2013年4月21日
本试卷分第I卷（)和第II卷（非）两部分。第I卷l至2页，第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1.设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则 等于
A. {1, 2} B. {2, 3}
C.{2, 4}D. {1, 4}
2.抛物线x2=-4y的准线方程是
A. x=-1B. x=2
C.y=1D. y=-2
3.若复数z满足z*i=1+i(i为虚数单位),则复数z=
A. 1+i B. -1-I C. 1-I D. -1+i
4.设数列{an}是等比数列，则“a1
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
5.平面向量a与b的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则a+2b=
A. B.2
C. 4D. 12
6.函数f(x)= x-sinx的大致图象可能是
7.执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M处的条件为
A. B.
C. k>3l D. k>l5
8.己知函数. ，若函数f(x)在区间 上单调递增，则0的取值范围是
A [ ]
B [ ]
C ( ] [ )
D ( ] [ )
9.已知椭圆 与离心率为2的双曲线 的公共焦点 是F1 F2,点P是两曲线的一个公共点，若 ,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
10.已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数，a为常数）是实数集R上的奇函数，若 函数f(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题，共100分）
二、题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a的值是____
12.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____
13.设变量x、y满足约束条件： ，则目标函数z=2x+y的最大值是_______
14.己知 ，且 则cosa=______
15.定义在区间[a,b]上的函数y=f(x), 是函数f(x)的导数，如果 ，使得f(b)-f(a)= ,则称 为[a,b]上的“中值点”.下列函数：
① f(x)=2x+l,② f(x)=x2-x+l,
③ f(x)=lnx+l,④ ，
其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分）
从高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.
(I)求n的值;
(II)试估计这n名学生的平均成绩；
(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.
17.(本小题满分12分）
已知{an}是等差数列，a1=3, Sn是其前n项和，在各项均为正数的等比数列{bn}中， b1=1 且b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2.
(I )求数列{an}, {bn}的通项公式；
(II)设 ，数列{cn}的前n项和为Tn,求证
18.(本小题满分12分）
如图，ABCD是边长为2的正方形，ED?平面ABCD,ED=1, EF//BD 且EF= BD.
(I)求证：BF//平面ACE
(II)求证：平面EAC?平面BDEF;
(III)求几何体ABCDEF的体积.
19.(本小题满分12分）
函数 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数y=f(x)的 图象.
(I )求函数y=g(x)的解析式；
(II)已知ΔABC中三个内角A，B， C的对边分别为a, b，c，且满足 + ＝2 sinAsinaB,且C= ，c=3，求ΔABC的面积.
20.(本小题满分13分）
已知椭圆C: 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线 相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l 过B点且与x轴垂直，如图.
(I )求椭圆的标准方程；
(II)设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH?x轴，H为垂足，延长HG到点Q 使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,点N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.
21.(本小题满分14分）
已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).
(I )求函数f(x)的单调区间；
(II)如果对任意 ，都有不等式f(x)> x + x2成立，求实数a的取值范围；
(III)设 ,证明： + + +…+ <
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
DCCBB AABDD
二、题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．1 12．16π 13．3 14． 15．①④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（Ⅰ）成绩在区间 的频率是：
1 (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，
∴ 人． ……………………………………………………………3分
（Ⅱ）成绩在区间 的频率是：
1 (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03) 10=0.24，
利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是：
45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分
（Ⅲ）成绩在区间 的学生人数是：50×0.04=2人，
成绩在区间 的学生人数是：50×0.06=3人，
设成绩在区间 的学生分别是A1，A2，成绩在区间 的学生分别是B1，B2，B3，
从成绩在 的学生中随机选取2人的所有结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，
(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种情况．
至少有1人成绩在 内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种情况．
∴ 至少有1人成绩在 内的概率P= ． ……………………………6分
17．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意可得：
解得q=2或q= (舍)，d=2．
∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1，数列{bn}的通项公式是 ． …7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，于是 ，
∴
< ． …………12分
18．解：（Ⅰ）如图，记AC与BD的交点为O，连接EO，于是DO=OB．
∵ EF∥BD且EF＝ BD，
∴ EF OB，
∴ 四边形EFBO是平行四边形，
∴ BF∥EO．
而BF 平面ACE，EO 平面ACE，
∴ BF∥平面ACE．…………………………4分
（Ⅱ）∵ ED⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴ ED⊥AC．
∵ ABCD是正方形，
∴ BD⊥AC，
∴ AC⊥平面BDEF．
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF． ……………………………8分
（Ⅲ）连结FO，∵ EF DO，
∴ 四边形EFOD是平行四边形．
由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，
∴ 四边形EFOD是矩形．
∵ 平面EAC⊥平面BDEF．
∴ 点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，
且高h= ＝ ．
∴几何体ABCDEF的体积
=
=2．……………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）由图知： ，解得ω=2．
再由 ，
得 ，即 ．
由 ，得 ．
∴ ．
∴ ，
即函数y=g(x)的解析式为g(x)= ．………………………………6分
（Ⅱ）由已知化简得： ．
∵ (R为△ABC的外接圆半径)，
∴ ，
∴ sinA= ，sinB= ．
∴ ，即 ． ①
由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，
即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab． ②
联立①②可得：2(ab)2-3ab-9=0，解得：ab=3或ab= (舍去)，
故△ABC的面积S△ABC= ．…………………………………12分
20．解：（Ⅰ）由题可得：e= ．
∵ 以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+ =0相切，
∴ =b，解得b=1．
再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．
∴ 椭圆的标准方程： ．……………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为：x=2．
设G(x0，y0)(y0≠0)，于是H(x0，0)，Q(x0，2y0)，
且有 ，即4y02=4-x02．
设直线AQ与直线BQ的斜率分别为：kAQ，kBQ，
∵ ，即AQ⊥BQ，
∴ 点Q在以AB为直径的圆上．
∵ 直线AQ的方程为： ，
由 解得： 即 ，
∴ ．
∴ 直线QN的斜率为： ，
∴ ，于是直线OQ与直线QN垂直，
∴ 直线QN与以AB为直径的圆O相切． …………………………………13分
21．解：（Ⅰ）∵ ，
当a≤0时 ，得函数f (x)在(-∞，+∞)上是增函数．
当a>0时，
若x∈(lna，+∞)， ，得函数 在(lna，+∞)上是增函数；
若x∈(-∞，lna)， ，得函数 在(-∞，lna)上是减函数．
综上所述，当a≤0时，函数f (x)的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a>0时，函数f (x) 的单调递增区间是(lna，+∞)，单调递减区间是(-∞，lna)．…5分
（Ⅱ）由题知：不等式ex-ax>x+x2对任意 成立，
即不等式 对任意 成立．
设 (x≥2)，于是 ．
再设 ，得 ．
由x≥2，得 ，即 在 上单调递增，
∴ h(x)≥h(2)=e2-4>0，进而 ，
∴ g(x)在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，即实数a的取值范围是 ．………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
当a=1时，函数f (x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
∴ f (x)≥f (0)=1，即ex-x≥1，整理得1+x≤ex．
令 (n∈N*，i=1，2，…，n-1)，则 ≤ ，即 ≤ ，
∴ ≤ ， ≤ ， ≤ ，…， ≤ ，
显然 ≤ ，
∴
≤
，
故不等式 （n∈N*）成立．……………4分
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