等差数列

j.Co M
等差数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；
2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
二、过程与方法
通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
三、情感、态度与价值观
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
【重点与难点】：
重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
【学法与用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．复习等差数列的定义、通项公式
（1）等差数列定义
（2）等差数列的通项公式： ( 或 ( 是常数))
（3）公差 的求法：① - ② ③
2．等差数列的性质：
（1）在等差数列 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是
如： ， ， ， ，……； ， ， ， ，……；
（3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ；
（4）在等差数列 中，若 ， ， ， 且 ，则
3．问题：（1）已知 是公差为 的等差数列。
① 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
② 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（2）已知等差数列 的首项为 ，公差为 。
①将数列 中的每一项都乘以常数 ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
②由数列 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列 是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）已知数列 是等差数列，当 时，是否一定有 ？
（4）如果在 与 中间插入一个数 ，使得 ， ， 成等差数列，那么 应满足什么条件？
二、研探新知
1.等差中项的概念：
如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其中
， ， 成等差数列 ．
2.一个有用的公式：
（1）已知数列{ }是等差数列
① 是否成立？ 呢？为什么？
② 是否成立？据此你能得到什么结论？
③ 是否成立？？你又能得到什么结论？
（2）在等差数列 中， 为公差，若 且
求证：① ②
证明：①设首项为 ，则
∵ ∴
② ∵
∴
探究：等差数列与一次函数的关系
注意：（1）由此可以证明一个结论：设 成AP，则与首末两项距离相等的两项和相等，即： ，
同样：若 则
（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材 例3）已知等差数列 的通项公式是 ，求首项
和公差 。
解： ，∴ 或
，等差数列 的通项公式是 ，是关于 的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点 均在直线 上（如图）
例2 ①在等差数列 中， ，求 ．
②在等差数列 中， ，求 的值。
解：①由条件： ；
②由条件：∵ ∴ ∴ ．
例3若 求
解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2…… ∴ , ……从而
+ 2
∴ =2 ? =2×80?30=130
一般的：若 成等差数列那么 、 、 、…也成等差数列
例4如图，三个正方形的边 的长组成等差数列，且 ，这三个正方形的面积之和是 。（1）求 的长；（2）以 的长为等差
数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：（1）设公差为 ， 则
由题意得： 解得： 或 （舍去）
∴
（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列 ，
∴ ，∴ 所求正方形的面积是 。
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材 练习
2.在等差数列 中, 若 求
解： 即 ∴ 从而
变题：在等差数列 中，（1）若 ， 求 ；（2）若 求
解：（1） 即 ∴ ；（2） =
五、归纳整理，整体认识
本节课学习了以下内容：
1． 成等差数列，等差中项的有关性质意义
2．在等差数列中， （ ， ， ， ）
3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。
六、承上启下，留下悬念
1.在等差数列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9项和 .
解：由等差中项公式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 由条件 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, ＝90, ∴ ＋ ＝2 ＝180.
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.
七、板书设计（略）
八、课后记：
判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
例：已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解： 当 时
时 亦满足 ∴ 首项
∴ 成 且公差为6
2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成 。
例：已知 ， ， 成 ，求证 ， ， 也成 。
证明： ∵ ， ， 成 ∴ 化简得：

= ∴ ， ， 也成AP
3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。
例：设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？
解： 时 时 , 不满足
∴ ∴ 数列 不成 但从第2项起成 。


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