逍遥右脑 2013-06-24 18:41
推理与证明
【学法导航】
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点。
解答推理问题时，先明确出是哪种推理形式，显然归纳、演绎等推理方式在以往的学习中已经接触过，类比推理相对而言学生比较为陌生. 所以复习类比推理时应抓住两点：一是找出合理的类比对象，二是找出类比对象，再进一步找出两类事物间的相似性或一致性.
解答证明题时，要注意是采用直接证明还是间接证明。在解决直接证明题时，综合法和分析法往往可以结合起使用。综合法的使用是“由因索果”，分析法证明问题是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此使用时往往联合使用。分析法要注意叙述的形式：要证A，只要证明B，B应是A成立的充分条。
复习反证法时，注意：一是“否定结论”部分，把握住结论的“反”是什么？ 二是“导出矛盾”部分，矛盾有时是与已知条矛盾，有时是与假设矛盾，而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛盾，因此要弄明白究竟是与什么矛盾.
对于 些难于从正面入手的数学证明问题，解题时可从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，从而将问题得以解决。因此当遇到“否定性”、“唯一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，宜选用反证法。
【专题综合】
推理是数学的基本思维过程,高中数学程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力,因此本部分内容在高中数学中占有重要地位,是高考的重要内容.由于解答高考试题的过程就是推理的过程,因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中.在复习时,应注意理解常用的推理的方法,了解其含义,掌握其过程以解决具体问题.因此2007年、2008年东卷、广东卷、海南、宁夏卷没有单独考查此内容也在情理之中。2009年的高考题中只有江苏卷、福建卷、浙江卷的高考试题中出现了合情推理与演绎推理的试题。但是，今后的高考中考查推理内容,最有可能把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身就是一种 合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的.
1.与数列结合考察推理
例1（09浙江）设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， ， 成等比数列．
答案．
【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条进行类比推理的方法和能力
【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， 成等比数列．
2.与解析几何集合考察推理
例2（03年上海）已知椭圆具有性质：若 是椭圆上关于原点对称的两个点，点 是椭圆上的任意一点，当直线 的斜率都存在时，则 是与点 位置无关的定值，试对双曲线 写出具有类似特性的性质。
答案: .
3.与立体几何结合考察推理
例3在 DEF中有余弦定理： . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC- 的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
分析 根据类比猜想得出 .
其中 为侧面为 与 所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱 的直截面DEF，则 为面 与面 所成角，在 中有余弦定理： ，
同乘以 ，得
即
【变式】类比正弦定理：如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分别为 、 、 ，则有
证明：作平面DEF与三棱柱ABC-A1B1C1侧棱垂直，分别交侧棱AA1，BB1 ，CC1于点D，E，F，则 = ， ， ，
在 DEF中，根据正弦定理得 ，即
而 ，且 ，因此 ．
例4(2007广东理)如果一个凸多面体 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 __ 条.这些直线中共有 对异面直线，则 ＝ 12 ; ＝ .（答案用数字或 的解析式表示）
4构造数表考察推理
例5（2007湖南理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 32 ．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
图1
5.实际问题
例6(2007年广东10).图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配各50．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配分别调整为40、45、54、61,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动次(n配从一个维修点调整到相邻维修点的调动次为n)为
A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设 的数为 (规定:当 时,则B调整了 给A,下同!), 的数为 , 的数为 , 的数为 ,依题意可得 , , , ,从而 , , ,故调动次 ,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).
【答案】:C
5.与其他节知识结合考察证明
例7(2008年海南宁夏21)设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为y=3．
（1）求 的解析式：
（2）证明：函数 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线 上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解：（1） ，
于是 解得 或
因 ，故 ．
（2）证明：已知函数 ， 都是奇函数．
所以函数 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而 ．可知，函数 的图像按向量 平移，即得到函数 的图像，故函数 的图像是以点 为中心的中心对称图形．
（3）证明：在曲线上任取一点 ．
由 知，过此点的切线方程为
．
令 得 ，切线与直线 交点为 ．
令 得 ，切线与直线 交点为 ．
直线 与直线 的交点为 ．
从而所围三角形的面积为 ．
所以，所围三角形的面积为定值 ．
6.综合应用数学归纳法证明与正整数有关的问题
例8(2009东卷理)等比数列{ }的前n项和为 ， 已知对任意的 ，点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式 成立
解:因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常数的图像上.所以得 ,当 时, ,当 时, ,又因为{ }为等比数列,所以 ,公比为 ,
（2）当b=2时， ,
则 ,所以
下面用数学归纳法证明不等式 成立.
①当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立.
②假设当 时不等式成立,即 成立.则当 时,左边=
所以当 时,不等式也成立
由①、②可得不等式恒成立.
点评:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 求 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
7.创新性问题
例9（2007北京理)（本小题共13分）已知集合 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的集合： ， ．
其中 是有序数对，集合 和 中的元素个数分别为 和 ．
若对于任意的 ，总有 ，则称集合 具有性质 ．
（I）检验集合 与 是否具有性质 并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合 和 ；
（II）对任何具有性质 的集合 ，证明： ；
（III）判断 和 的大小关系，并证明你的结论．
（I）解：集合 不具有性质 ．
集合 具有性质 ，其相应的集合 和 是 ，
．
（II）证明：首先，由 中元素构成的有序数对 共有 个．
因为 ，所以 ；
又因为当 时， 时， ，所以当 时， ．
从而，集合 中元素的个数最多为 ，
即 ．
（III）解： ，证明如下：
（1）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．
如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也至少有一个不成立．
故 与 也是 的不同元素．
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，
（2）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也不至少有一个不成立，
故 与 也是 的不同元素．
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，
由（1）（2）可知， ．
【专题突破】
1. 观察下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( C )
（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100
解析 . 由规律可得:数字相同的数依次个数为
1,2,3,4,… n 由 ≤100 n ∈ 得,n=14,所以应选（C）
2.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ C ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3. 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ A ）
(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等
(C) 正方形是平行四边形 (D)其它
4.若数列{ }，(n∈N )是等差数列,则有数列b = (n∈N )也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{C }是等比数列,且C ＞0(n∈N ),则有d =______ ______ (n∈N )也是等比数列。
5.依次有下列等式： ，按此规律下去，第8个等式为 8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22= 。
6.在等差数列 中，若 ，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 中，若 ，
则有等式 成立.
7．已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
__________________________________________= 并给出（ * ）式的证明。
一般形式:
证明 左边 =
=
=
= =
∴原式得证
（将一般形式写成
等均正确。）
例１.通过计算可得下列等式：
┅┅
将以上各式分别相加得：
即：
类比上述求法：请你求出 的值.．
[解]
┅┅
将以上各式分别相加得：
所以：