2012届高考理科数学第二轮算法与推理复习教案

逍遥右脑  2014-02-01 15:57

2012届高考数学二轮复习

专题九 算法与推理
【重点知识回顾】

答案:顺序结构 分支结构 循环结构 合情推理 归纳推理 类比推理 演绎推理
综合法 分析法 反证法 数学归纳法
【典例例题】
题型1算法框图例1 (1)定义函数CONRND(a,b)是产生区间(a,b)内的任何一个实数的
随机数函数.如图所示的算法框图可用来估计π的值.现在N输入的值为10
0,结果m的输出值为21,则由此可估计π的近似值为  .  .

(2)(2011年?江西)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是
    .

【分析】(1)读懂算法框图的循环结构和随机数函数,用几何概型求之.
(2)先考虑循环变量s和计数变量n的初始值,再确定循环体及循环次数并计算每次的运算结果,最后确定输出变量s的值.
【解析】(1)点(A,B)应在矩形区域{(A,B)-11时,输出m=21,表示点(A,B)在矩形区域内部和单位圆的外部有21个点,根据几何概率得?=?,∴π=4× =3.16.
(2)第一次,s1=0+(-1)1+1=0,n=2;第二次,s2=0+(-1)2+2=3,n=3;第三次,s3=3+(-1)3+3=5,n=4;第四次,s4=5+(-1)4+4=10>9,故填10.
【答案】(1)3.16 (2)10
总结:(1)算法用来解决实际问题会是高考的一个命题亮点.本题
借助框图,考查了几何概型,又验证了圆周率的近似值,是一道好题.(2)算
法框图命题背景常常是数列、统计、函数等等.在知识的交汇处命题是
高考的一大特色.本题就是用框图解决数列的一道好题.
题型2 直接证明与间接证明
综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”,它们是截然相
反的两种证明方法,分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙
述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,综合应用,效果会更好.一般
直接证明中的综合法会在解答题中重点考查.而反证法一般作为客观题
的判断方法,很少单独命题,但可能会在大题中用到.
例3 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD为
梯形,AB∥DC,AB⊥BC,AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求证:PD∥平面EAC.
【分析】本题以立体几何中的四棱锥为载体,重点考查平行与垂直这两大位置关系的推理论证,其中第(1)问,要证面面垂直,即要证两平面中的一个平面经过另一平面的一条垂线,从而问题的关键在于寻找平面PAB或平面PCB的垂线,根据图形的特征,可证CB与平面PAB垂直,这可由条件AB⊥BC,PA⊥CB即得;第(2)问要使得线面平行,只需保证线线平行,即使PD与平面AEC内的一条直线平行,连结BD交AC于M,从而问题转化为探究PD与EM能否平行的问题.
【解析】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.
(2)∵PA⊥底面ABCD,∴AC为PC在平面ABCD内的射影.
又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=?,
又∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC=?,又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.
∴DC=?AC=?×?AB=2AB.
连结BD交AC于点M,连结EM,则?=?=2.
在△BPD中,?=?=2,∴PD∥EM.
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,∴PD∥平面EAC.
立体几何是高中数学的重要组成部分,在高考中的试题多以中档题形式出现,综合考查线面平行及垂直问题等基础知识,在备考复习时,要依据课本知识,构建空间思维网络,熟练掌握线面平行、垂直的性质、判定定理.
题型3:合情推理
例3.(1)观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,你由此可以归纳出什么规律?
(2)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间,并判断类比的结论是否成立:
1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必于另一条相交。
2)如果两条直线同时垂直与第三条直线,则这两条直线平行。
解析:(1)设 为 个点可连的弦的条数,则

(2)
1)一个平面如和两个平行平面中的一个相交,则必然和另一个也相交,次结论成立;
2)若两个平面同时垂直第三个骗马,则这两个平面也相互平行,此结论不成立。
点评:当前提为真,结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
题型4:演绎推理

例4.(07年天津)如图,在五面体 中,点 是矩形 的对角线的交点,面 是等边三角形,棱 。
(1)证明 //平面 ;
(2)设 ,证明 平面 。
解析:(Ⅰ)证明:取CD中点M,连结OM.
在矩形ABCD中, ,又 ,
则 ,连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.
又 平面CDE,切EM 平面CDE,∵FO∥平面CDE
(Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,
且 。
因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M,∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO.而 ,所以EO⊥平面CDF。
点评:本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
题型5:特殊证法(如:数学归纳法)
例5.(1)用反证法证明:如果a>b>0,那么 ;
(2)(全国II)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…。
(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式。
解析:(1)假设 不大于 ,则或者 < ,或者 = 。
∵a>0,b>0,∴ < < , <
, a= a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾,∴ .
证法二(直接证法) ,
∵a>b>0,∴a - b>0即 ,
∴ ,∴ 。
(2)(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12。
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12,
于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,解得a1=16。
(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,Sn2-2Sn+1-anSn=0。
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0   ①
由(Ⅰ)知S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23。
由①可得S3=34,由此猜想Sn=nn+1,n=1,2,3,…
下面用数学归纳法证明这个结论
(i)n=1时已知结论成立;
(ii)假设n=k时结论成立,即Sk=kk+1,
当n=k+1时,由①得Sk+1=12-Sk,即Sk+1=k+1k+2,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知Sn=nn+1对所有正整数n都成立,
于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),
又n=1时,a1=12=11×2,所以{an}的通项公式an=nn+1,n=1, 2,3,…
点评:要应用好反证法、数学归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。
题型10:框图
例10.(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量;
方案2:商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场.
(2)公司人事结构图
解析:(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量。

方案2: 商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
于是:

(2)

点评:建立合理的结构图和流程图解决实际问题,要形成良好的书写习惯遵循从上到下、从左到右的规则。

【模拟演练】

1.如果执行右面的程序框图,那么输出的 (  )
A.2450B.2500
C.2550D.2652

2.如右图所示的程序框图的输出结果是 ( )
A. B. C. D.

3.如果执行右面的程序框图,那么输出的 是 ( )
A. B. C. D.

4.右面的程序框图,如果输入三个实数a、b、c,要
求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断
框中,应该填入下面四个选项中的( )
A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c

二.填空题
1如果执行下面
的程序框图,那么输出的 =_________ .

2.阅读图4的程序框图,若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。
(注:框图中的赋值符号“=”,也可以写成“←”或“:=”)
3.运行下图所示的程序流程图,则输出 的值
为_________________.

4 .执行下图的程序框图,如果输入的 ,那么输出的 ________________.

5.根据下面的框图,打印的最后一个数据是 .
答案:
一.选择题
1. 解答过程:由程序知

答案C

2.答案:C

3.答案:C

4. 解答过程:易知选A

二.填空题
1.答案:10000
2. 解答过程:要结束程序的运算,就必须通过 整除 的条件运算,
而同时 也整除 ,那么 的最小值应为 和 的最小公倍
数12,即此时有 。
3. 答案:
4. 答案:2548

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