江苏2013年高三数学升学考试题(有答案和解释)

逍遥右脑  2013-12-28 14:01


2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1.函数 的最小正周期为 .
【答案】π
【解析】T=2πω =2π2 =π.
2.设 ( 为虚数单位),则复数 的模为 .
【答案】5
【解析】z=3-4i,i2=-1, z = =5.
3.双曲线 的两条渐近线的方程为 .
【答案】
【解析】令: ,得 .
4.集合 共有 个子集.
【答案】8
【解析】23=8.
5.右图是一个算法的流程图,则输出的 的值是 .
【答案】3
【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.
6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员第一次第二次第三次第四次第五次
甲8791908993
乙8990918892
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为: .
方差为: .
7.现在某类病毒记作 ,其中正整数 , ( , )可以任意选取,则
都取到奇数的概率为 .
【答案】
【解析】m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则 都取到奇数的概率为 .
8.如图,在三棱柱 中, 分别是 的中点,设三棱锥 的体积为 ,三棱柱 的体积为 ,则 .
【答案】1:24
【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比为1:2,故体积之比为1:8.
又因三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1:3.所以,三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1:24.
9.抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界) .若点 是区域 内的任意一点,则 的取值范围是 .
【答案】[—2,12 ]
【解析】抛物线 在 处的切线易得为y=2x—1,令z= ,y=—12 x+z2 .
画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(12 ,0)时,zmax=12 .
10.设 分别是 的边 上的点, , ,
若 ( 为实数),则 的值为 .
【答案】12
【解析】
所以, , , 12 .
11.已知 是定义在 上的奇函数。当 时, ,则不等式 的解集用区间表示为 .
【答案】(?5,0) ∪(5,?∞)
【解析】做出 ( )的图像,如下图所示。由于 是定义在 上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式 ,表示函数y= 的图像在y=x的上方,观察图像易得:解集为(?5,0) ∪(5,?∞)。
12.在平面直角坐标系 中,椭圆 的标准方程为 ,右焦点为
,右准线为 ,短轴的一个端点为 ,设原点到直线 的距离为 , 到 的距离为 ,若 ,则椭圆 的离心率为 .
【答案】
【解析】如图,l:x= , = -c= ,由等面积得: = 。若 ,则 = ,整理得: ,两边同除以: ,得: ,解之得: = ,所以,离心率为: .
13.在平面直角坐标系 中,设定点 , 是函数 ( )图象上一动点,
若点 之间的最短距离为 ,则满足条件的实数 的所有值为 .
【答案】1或
【解析】
14.在正项等比数列 中, , ,则满足 的
最大正整数 的值为 .
【答案】12
【解析】设正项等比数列 首项为a1,公比为q,则: ,得:a1=132 ,q=2,an=26-n.记 , . ,则 ,化简得: ,当 时, .当n=12时, ,当n=13时, ,故nmax=12.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知 , .
(1)若 ,求证: ;
(2)设 ,若 ,求 的值.
解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),
a-b2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα?cosβ+sinα?sinβ)=2,
所以,cosα?cosβ+sinα?sinβ=0,
所以, .
(2) ,①2+②2得:cos(α-β)=-12 .
所以,α-β= ,α= +β,
带入②得:sin( +β)+sinβ= cosβ+12 sinβ=sin( +β)=1,
所以, +β= .
所以,α= ,β= .
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,过 作 ,垂足为 ,点 分别是棱 的中点.求证:
(1)平面 平面 ;
(2) .
证:(1)因为SA=AB且AF⊥SB,
所以F为SB的中点.
又E,G分别为SA,SC的中点,
所以,EF∥AB,EG∥AC.
又AB∩AC=A,AB 面SBC,AC 面ABC,
所以,平面 平面 .
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC,
AF 平面ASB,AF⊥SB.
所以,AF⊥平面SBC.
又BC 平面SBC,
所以,AF⊥BC.
又AB⊥BC,AF∩AB=A,
所以,BC⊥平面SAB.
又SA 平面SAB,
所以, .
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系 中,点 ,直线 .
设圆 的半径为 ,圆心在 上.
(1)若圆心 也在直线 上,过点 作圆 的切线,
求切线的方程;
(2)若圆 上存在点 ,使 ,求圆心 的横坐
标 的取值范围.
解:(1)联立: ,得圆心为:C(3,2).
设切线为: ,
d= ,得: .
故所求切线为: .
(2)设点M(x,y),由 ,知: ,
化简得: ,
即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.
又因为点 在圆 上,故圆C圆D的关系为相交或相切.
故:1≤CD≤3,其中 .
解之得:0≤a≤125 .
18.(本小题满分16分)
如图,游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径。一种是从 沿直线步行
到 ,另一种是先从 沿索道乘缆车到 ,然后从 沿直线步行到 .现有甲、乙两
位游客从 处下山,甲沿 匀速步行,速度为 .在甲出发 后,乙从
乘缆车到 ,在 处停留 后,再从匀速步行到 .假设缆车匀速直线运动的
速度为 ,山路 长为 ,经测量, , .
(1)求索道 的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟,
乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:AB=52k=1040m.
(2)设乙出发x分钟后到达点M,
此时甲到达N点,如图所示.
则:AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM?ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,
其中0≤x≤8,当x=3537 (min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:126050 =1265 (min).
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:1265 +3=1415 (min),在BC上用时:865 (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043 m/min.
若乙等甲3分钟,则乙到C用时:1265 -3=1115 (min),在BC上用时:565 (min) .
此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min.
故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514 ]范围内.
19.(本小题满分16分)
设 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 是其前 项和.记 ,
,其中 为实数.
(1)若 ,且 成等比数列,证明: ( );
(2)若 是等差数列,证明: .
证:(1)若 ,则 , , .
当 成等比数列, ,
即: ,得: ,又 ,故 .
由此: , , .
故: ( ).
(2) ,
. (※)
若 是等差数列,则 型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有: ,即 ,而 ≠0,
故 .
经检验,当 时 是等差数列.
20.(本小题满分16分)
设函数 , ,其中 为实数.
(1)若 在 上是单调减函数,且 在 上有最小值,求 的取值范围;
(2)若 在 上是单调增函数,试求 的零点个数,并证明你的结论.
解:(1) ≤0在 上恒成立,则 ≥ , .
故: ≥1.

若1≤ ≤e,则 ≥0在 上恒成立,
此时, 在 上是单调增函数,无最小值,不合;
若 >e,则 在 上是单调减函数,在 上是单调增函数, ,满足.
故 的取值范围为: >e.
(2) ≥0在 上恒成立,则 ≤ex,
故: ≤1e .

(?)若0< ≤1e ,令 >0得增区间为(0,1a );
令 <0得减区间为(1a ,?∞).
当x→0时,f(x)→?∞;当x→?∞时,f(x)→?∞;
当x=1a 时,f(1a )=?lna-1≥0,当且仅当 =1e 时取等号.
故:当 =1e 时,f(x)有1个零点;当0< <1e 时,f(x)有2个零点.
(?)若a=0,则f(x)=?lnx,易得f(x)有1个零点.
(?)若a<0,则 在 上恒成立,
即: 在 上是单调增函数,
当x→0时,f(x)→?∞;当x→?∞时,f(x)→?∞.
此时,f(x)有1个零点.
综上所述:当 =1e 或a<0时,f(x)有1个零点;当0< <1e 时,f(x)有2个零点.


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