函数的概念

j.Co M
1.2.1函数的概念（第一课时）
课型：新授课
目标：
（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的三要素；
（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：
一、问题链接：
1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
2．回顾初中函数的定义：
在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法.
二、合作探究展示：
探究一：函数的概念：
思考1：（课本P15）给出三个实例：
A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是 。
B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）
C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合 叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。
注意：
①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
思考2：构成函数的三要素是什么？
答：定义域、对应关系和值域
小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（B）.

2．集合 ， ，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（B）.
归纳：（1）一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R，值域也是R；
（2）二次函数 (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域 ；当a?0时，值域 。
（3）反比例函数 的定义域是 ，值域是 。
探究二：区间及写法：
设a、b是两个实数，且a（1）满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
（2）满足不等式 的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
（3）满足不等式 的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ；
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足 的实数x的集合分别表示为
。
小试牛刀：
用区间表示R、{xx≥1}、{xx>5}、{xx≤-1}、{xx<0}
（学生做，教师订正）
（三）例题讲解：
例1．已知函数 ，
（1）求 的值；
（2）当a>0时，求 的值。
（答案见P17例一）
练习．已知函数f(x)=x2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1),f(f(x)).
答案:f(-2)=6f(-a)=a2+2f(a+1)=a2+2a+3f(f(x))=x4+4x2+6
【例2】已知函数 .
（1）求 的值；（2）计算： .
解：（1）由 .
（2）原式
点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.
（四）随堂检测：
1．用区间表示下列集合：

2．已知函数f(x)=3x ＋5x－2,求f(3)、f(- )、f(a)、f(a+1)的值；
3．课本P19练习2。
4．已知 ＝ ＋x＋1，则 ＝__3+ ____；f［ ］＝_57_____．
5．已知 ，则 =?1.
归纳小结：
函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
作业布置：
习题1.2A组，第4，5，6；
1.2.1函数的概念（第二课时）
课型：新授课
教学目标：
（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
（2）掌握复合函数定义域的求法；
（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点：复合函数定义域的求法。
教学过程：
一、问题链接：
1.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝ 与y＝x是不是同一个函数？为什么？
2.用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax ＋bx＋c（a≠0）、y＝ (k≠0)的定义域与值域。
二、合作探究展示：
探究一：函数定义域的求法：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域
① ；② ；③ .
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 无意义，
而 时，分式 有意义，∴这个函数的定义域是 .
②∵3x+2<0，即x<- 时，根式 无意义，
而 ，即 时，根式 才有意义，
∴这个函数的定义域是{ }.
③∵当 ，即 且 时，根式 和分式 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{ 且 }
另解：要使函数有意义，必须： ?
∴这个函数的定义域是：{ 且 }
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
说明：求定义域步骤：列不等式（组）→解不等式（组）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
探究二：复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；
求法：由a例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。
答案：
练习．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（C）.
A． B． C． D．
例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。
答案：
巩固练习：
1．求下列函数定义域：
（1） ；（2）
答案：（1） （2）
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求 的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
答案：（1） （2）
探究三：求函数的值域
已知函数 求
（1）
（2）x
（3）x
答案：（1） （2） （3）
探究四：函数相同的判别方法：
例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） 。
分析：
○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：⑴ ＝ （ ）, ，定义域不同且值域不同，不是；
⑵ ＝ （ ）, ，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶ ＝ = , ；值域不同，不是同一个函数。
（4） 定义域不同，不是同一个函数。
练习1．下列各组函数中，表示同一函数的是（C）.
A. B.
C. D.
2下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
① （定义域不同）
② （定义域不同）
③ （定义域、值域都不同）
（三）随堂检测：
1．课本P19练习1，3；
2．求函数y＝－x ＋4x－1，x∈[-1,3)的值域。
归纳小结：
本堂课讲授了函数定义域值域的求法以及判断函数相等的方法。
作业布置：
习题1.2A组，第1，2；


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