浙江卷数学（理）试题答案与解析
选择题部分（共50分）
一、选择题：每小题5分，共50分．
1．已知i是虚数单位，则(?1+i)(2?i)=
A．?3+iB．?1+3i C．?3+3i D．?1+i
【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题
【答案解析】B
2．设集合S={xx>?2}，T={xx2+3x?4≤0}，则(?RS)∪T=
A．(?2，1]B．(?∞，?4]C．(?∞，1]D．[1，+∞)
【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题
【答案解析】C 因为(?RS)={xx≤?2}，T={x?4≤x≤1}，所以(?RS)∪T=(?∞，1].
3．已知x，y为正实数，则
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ? 2lgy
C．2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ? 2lgy
【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题
【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确
4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ?R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题
【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，k?Z，所以选项B正确
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则
A．a=4B．a=5
C．a=6D．a=7
【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题
【答案解析】A
6．已知α?R，sin α+2cos α=102，则tan2α=
A．43B．34
C．?34D．?43
【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题
【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0，解得tan α=3或tan α=?13，于是tan2α=2tan α1?tan2α=?34.
7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB?→PC≥→P0B?→P0C，则
A．?ABC=90?B．?BAC=90?C．AB=ACD．AC=BC
【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题
【答案解析】D 由题意，设→AB=4，则→P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB?→PC=→PH→PB=(→PB ?(a+1))→PB，→P0B?→P0C=?→P0H→P0B=?a，于是→PB?→PC≥→P0B?→P0C恒成立，相当于(→PB?(a+1))→PB≥?a恒成立，整理得→PB2?(a+1)→PB+a≥0恒成立，只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC
8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1，2)，则
A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值
B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值
D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值
【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题
【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。
9．如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为
A．2 B．3
C．32 D．62
【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，属于中档题
【答案解析】D 由题意，c=3，AF2+AF1=4……①，AF2?AF1=2a……②，①+②得AF2=2+a，①?②得AF1=2?a，又AF12+AF22= F1F22，所以a=2，于是e=ca=62.
10．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有 PQ1= PQ2，则
A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45?
C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60?
【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题
【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A正确
非选择题部分（共100分）
二、填空题：每小题4分，共28分．
11．设二项式x?13x5的展开式中常数项为A，则A= ．
【命题意图】考查二项式定理，属于容易题
【答案解析】?10
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的
体积等于 cm3．
【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题
【答案解析】24 由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个
三棱锥所得
13．设z=kx+y，其中实数x，y满足x+y?2≥0，x?2y+4≥0，2x?y?4≤0．若z的最大值为12，则实数k= ．
【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题
【答案解析】2 作出平面区域即可
14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有 种（用数字作答）．
【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题
【答案解析】480 第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有A24A33种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33+ A23A33种，由对称性可知共有2?( A55+ A24A33+ A22A33+ A23A33)=480种。
15．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F(?1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若FQ=2，则直线l的斜率等于 ．
【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题
【答案解析】±1 设直线l的方程为y=k(x+1)，联立y=k(x+1)， y2=4x．消去y得k2x2+(2k2?4)x+k2=0，由韦达定理，xA+ xB =?2k2?4 k2，于是xQ=xA+ xB2=2k2?1，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=2k，根据FQ=2k2?22+2k2=2，解出k=±1．
16．在△ABC，?C=90?，M是BC的中点．若sin?BAM=13，则sin?BAC= ．
【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题
【答案解析】63 设BC=2a，AC=b，则AM=a2+b2，AB=4a2+b2，sin?ABM= sin?ABC=ACAB=b 4a2+b2 ，在△ABM中，由正弦定理BMsin?BAM=AMsin?ABM，即a13=a2+b2b 4a2+b2 ，解得2a2=b2，于是sin?BAC=BCAB=2a 4a2+b2=63．
17．设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y?R．若e1，e2的夹角为π6，则xb的最大值等于 ．
【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题
【答案解析】2 xb=x(xe1+ye2)2=xx2+y2+3xy=1x2+y2+3xyx2=1yx2+3yx+1=1yx?3 22+14，所以xb的最大值为2
三、解答题：本大题共5小题，共72分．
18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ）若d<0，求a1+a2+a3+…+an．
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
【答案解析】
（Ⅰ）由题意
5a3? a1=(2a2+2)2，
即
d2?3d?4=0．
故
d=?1或d=4．
所以
an=?n+11，n?N*或an=4n+6，n?N*
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．因为d<0，由（Ⅰ）得d=?1，an=?n+11．则
当n?11时，
a1+a2+a3+…+an=Sn=?12n2+212n
当n?12时，
a1+a2+a3+…+an=?Sn+2S11=12n2?212n+110
综上所述，
a1+a2+a3+…+an=?12n2+212n， n?11， 12n2?212n+110，n?12．
19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若 Eη=53，Dη=59，求a∶b∶c．
【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
【答案解析】
（Ⅰ）由题意得
ξ=2，3，4，5，6
故
P(ξ=2)=3?36?6=14，
P(ξ=3)=2?3?26?6=13，
P(ξ=4)=2?3?1+2?26?6=518，
P(ξ=5)=2?2?16?6=19，
P(ξ=6)=1?16?6=136，
所以ξ的分布列为
ξ23456
P14
13
518
19
136
（Ⅱ）由题意知η的分布列为
η123
Paa+b+c
ba+b+c
ca+b+c
所以
Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53
Dη=1?532?aa+b+c+2?532?ba+b+c+3?532?ca+b+c=59
化简得
2a?b?4c=0，a+4b?11c=0
解得a=3c，b=2c，故
a∶b∶c=3∶2∶1
20．（本题满分15分）如图，在四面体A?BCD中，AD?平面BCD，BC?CD，AD=2，BD=22．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）若二面角C?BM?D的大小为60?，求?BDC的大小．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【答案解析】
（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．
因为AQ=3QC，所以
QF∥AD，且QF=14AD
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以
OP∥DM，且OP=12DM
又点M是AD的中点，所以
OP∥AD，且OP=14AD
从而
OP∥FQ，且OP=FQ
所以四边形OPQF是平行四边形，故
PQ∥OF
又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，所以
PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）作CG?BD于点G，作GH?BM于点HG，连接CH，则CH?BM，所以?CHG为二面角的平面角。设?BDC=θ．
在Rt△BCD中，
CD=BDcos θ=22cos θ，
CG=CDsin θ=22cos θsin θ，
BG=BCsin θ=22sin2θ
在Rt△BDM中，
HG=BG?DMBM=22sin2θ3
在Rt△CHG中，
tan?CHG=CGHG=3cos θsin θ=3
所以
tan ?=3
从而
?=60?
即?BDC=60?．
21．（本题满分15分）如图，点P(0，?1)是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力
【答案解析】
（Ⅰ）由题意得
b=1，a=2．
所以椭圆C的方程为
x24+y2=1．
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为
y=kx?1．
又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离
d=1k2+1 ，
所以
AB=24?d2=24k2+3k2+1 ．
又l1?l2，故直线l2的方程为
x+ky+k=0．
由
x+ky+k=0， x24+y2=1．
消去y，整理得
(4+k2)x2+8kx=0
故
x0=?8k 4+k2．
所以
PD=8k2+14+k2．
设△ABD的面积为S，则
S=12AB?PD=84k2+34+k2，
所以
S=324k2+3+134k2+3?3224k2+3 ? 134k2+3=161313，
当且仅当k=±102时取等号
所以所求直线l1的方程为
y=±102x?1
22．（本题满分14分）已知a?R，函数f(x)=x3?3x2+3ax?3a+3
（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当x?[0，2]时，求f(x)的最大值．
【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力
【答案解析】
（Ⅰ）由题意f ?(x)=3x2?6x+3a，故f ?(1)=3a?3．又f(1)=1，所以所求的切线方程为
y=(3a?3)x?3a+4
（Ⅱ）由于f ?(x)=3(x?1)2+3(a?1)，0x?2．故
（?）当a?0时，有f ?(x) ?0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故
f(x)max=max{f(0)，f(2)}=3?3a
（?）当a?1时，有f ?(x) ?0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故
f(x)max=max{f(0)，f(2)}= 3a?1
（?）当0
0< x1< x2<2，f ?(x)=3(x? x1)(x? x2)
列表如下：
x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，2)2
f ?(x)+0?0+
f (x)3?3a单调递增极大值f (x1)单调递减极小值f (x2)单调递增3a?1
由于
f(x1)=1+2(1?a)1?a，f(x2)=1?2(1?a)1?a，
故
f(x1)+f(x2)=2>0，f(x1)?f(x2)=4(1?a)1?a>0
从而
f(x1)> f(x2)．
所以
f(x)max=max{f(0)，f(2)，f(x1)}
（1）当0
f(2)．
又
f(x1)? f(0)=2(1?a)1?a?(2?3a)=a2(3?4a)2(1?a)1?a+2?3a>0
故
f(x)max= f(x1)=1+2(1?a)1?a．
（2）当23?a<1时，f(2)=f(2)，且f(2)?f(0)．
又
f(x1)? f(2)=2(1?a)1?a?( 3a ?2)=a2(3?4a)2(1?a)1?a+ 3a ?2
所以
①当23?a<34时，f(x1)> f(2)．故
f(x)max= f(x1)=1+2(1?a)1?a．
②当34?a<1时，f(x1) ? f(2)．故
f(x)max= f(2)= 3a?1．
综上所述，
f(x)max=3?3a， a?0，1+2(1?a)1?a， 0
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