2013年高三数学理科一模试题(东城区带答案)

逍遥右脑  2013-12-14 10:10

高三数学(理科)
2013.4
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷( 共40分)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集 ,集合 ,那么集合 为
(A) (B) (C) (D)
(2)已知 为平行四边形,若向量 , ,则向量 为
(A) (B)
(C) (D)
(3)已知圆的方程为 ,那么该圆圆心到直线 ( 为参数)的距离为
(A) (B) (C) (D)
(4)某游戏规则如下:随机地往半径为1的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于 ,则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 且小于 ,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为
(A) (B) (C) (D)
(5)已知数列 中, , , ,那么数列 的前 项和等于
(A) (B) (C) (D)
(6)已知 , 分别是双曲线 : 的两个焦点,双曲线 和圆 : 的一个交点为 ,且 ,那么双曲线 的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(7)已知定义在 上的函数 的对称轴为 ,且当 时, .若函数 在区间 ( )上有零点,则 的值为
(A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或
(8)已知向量 , , 是坐标原点,若 ,且 方向是沿 的方向绕着 点按逆时针方向旋转 角得到的,则称 经过一次 变换得到 .现有向量 经过一次 变换后得到 , 经过一次 变换后得到 ,…,如此下去, 经过一次 变换后得到 .设 , , ,则 等于
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷(共110分)
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)复数 的虚部是 .
(10) 的展开式中 的系数是 .
(11)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 次体育测试成绩的茎叶图,则甲 次测试成绩的平均数是 ,乙 次测试成绩的平均数与中位数之差是 .
(12)如图,已知 与圆 相切于 ,半径 , 交
于 ,若 , ,则 , .
(13)有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相,其中甲和乙必须相邻,
丙不排在两头,则这样的排法共有 种.
(14)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一
行增加两项,若 , 则位于第10行的第8列的项
等于 , 在图中位于 .(填第几行的第几列)
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)
在△ 中,三个内角 , , 的对边分别为 , , ,且 .
(Ⅰ)求角 ;
(Ⅱ)若 ,求 的最大值.
(16)(本小题共14分)
如图,已知 是直角梯形,且 ,平面 平面 , , , , 是 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求平面 与平面 所成锐二面角大小的余弦值.
(17)(本小题共13分)
某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有1,2,3,4,5,6六个数字的形状相同的卡片,其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片上所标数字相同,游戏规则如下:每人每次不放回抽取一张,抽取两次.
(Ⅰ)求所得奖品个数达到最大时的概率;
(Ⅱ)记奖品个数为随机变量 ,求 的分布列及数学期望.
(18)(本小题共14分)
已知函数 ,( 为常数, 为自然对数的底).
(Ⅰ)当 时,求 ;
(Ⅱ)若 在 时取得极小值,试确定 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设由 的极大值构成的函数为 ,将 换元为 ,试判断曲线 是否能与直线 ( 为确定的常数)相切,并说明理由.
(19)(本小题共13分)
已知椭圆 的两个焦点分别为 , ,离心率为 ,过 的直线 与椭圆 交于 , 两点,且△ 的周长为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)过原点 的两条互相垂直的射线与椭圆 分别交于 , 两点,证明:点 到直线 的距离为定值,并求出这个定值.
(20)(本小题共13分)
设 是由 个有序实数构成的一个数组,记作: .其中 称为数组 的“元”, 称为 的下标. 如果数组 中的每个“元”都是来自 数组 中不同下标的“元”,则称 为 的子数组. 定义两个数组 , 的关系数为 .
(Ⅰ)若 , ,设 是 的含有两个“元”的子数组,求 的最大值;
(Ⅱ)若 , ,且 , 为 的含有三个“元”的子数组,求 的最大值;
(Ⅲ)若数组 中的“元”满足 .设数组 含有四个“元” ,且 ,求 与 的所有含有三个“元”的子数组的关系数 的最大值.
北京市东城区2014-2013学年度第二学期高三综合练习(一)
数学参考答案 (理科)
一、(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)B (2)C (3)C (4)A
(5)C (6)D (7)A (8)B
二、题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9) (10) (11)
(12) (13) (14) 第 行的第 列
注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)因为 ,
由正弦定理可得 ,
因为在△ 中, ,
所以 .
又 ,
所以 .
(Ⅱ)由余弦定理 ,
因为 , ,
所以 .
因为 ,
所以 .
当且仅当 时, 取得最大值 .
(16)(共14分)
证明(Ⅰ)取 的中点 ,连结 , .
因为 是 的中点,
所以 , .
因为 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
(Ⅱ)因为 ,平面 平面 ,
所以以点 为原点,直线 为 轴,直线 为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 轴在平面 内.
由已知可得 , , , .
所以 , ,
设平面 的法向量为 .

所以
取 ,
所以 .
又因为平面 的一个法向量为

所以 .
即平面 与平面 所成锐二面角大小的余弦值为 .
(17)(共13分)
(Ⅰ)由题意可知所得奖品个数最大为10,概率为:

(Ⅱ) 的可能取值是: .
0246810
所以 .
(18)(共14分)
解:(Ⅰ)当 时, .

所以 .
(Ⅱ)

令 ,得 或 .
当 ,即 时,
恒成立,
此时 在区间 上单调递减,没有极小值;
当 ,即 时,
若 ,则 .
若 ,则 .
所以 是函数 的极小值点.
当 ,即 时,
若 ,则 .
若 ,则 .
此时 是函数 的极大值点.
综上所述,使函数 在 时取得极小值的 的取值范围是 .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 ,且 时, ,
因此 是 的极大值点,极大值为 .
所以 .

令 .
则 恒成立,即 在区间 上是增函数.
所以当 时, ,即恒有 .
又直线 的斜率为 ,
所以曲线 不能与直线 相切.
(19)(共13分)
解:(I)由题意知, ,所以 .
因为
所以 ,
所以 .
所以椭圆 的方程为 .
(II)由题意,当直线 的斜率不存在,此时可设 , .
又 , 两点在椭圆 上,
所以 , .
所以点 到直线 的距离 .
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 .
由 消去 得

由已知 .
设 , .
所以 , .
因为 ,
所以 .
所以 .
即 .
所以 .
整理得 ,满足 .
所以点 到直线 的距离
为定值.
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)依据题意,当 时, 取得最大值为2.
(Ⅱ)①当 是 中的“元”时,由于 的三个“元”都相等及 中 三个“元”的对称性,可以只计算 的最大值,其中 .
由 ,
得 .
当且仅当 ,且 时, 达到最大值 ,
于是 .
②当 不是 中的“元”时,计算 的最大值,
由于 ,
所以 .

当且仅当 时,等号成立.
即当 时, 取得最大值 ,此时 .
综上所述, 的最大值为1.
(Ⅲ)因为 满足 .
由 关系的对称性,只需考虑 与 的关系数的情况.
当 时,有 .

即 ,且 , , 时,
的最大值为 .
当 时, ,
得 最大值小于 .


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