2013年高三数学理科一模试题（东城区带答案）

高三数学（理科）
2013.4
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集 ，集合 ，那么集合 为
（A） （B） （C） （D）
（2）已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知圆的方程为 ，那么该圆圆心到直线 （ 为参数）的距离为
（A） （B） （C） （D）
（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于 ，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于 ，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于 且小于 ，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知数列 中， ， ， ，那么数列 的前 项和等于
（A） （B） （C） （D）
（6）已知 ， 分别是双曲线 ： 的两个焦点，双曲线 和圆 ： 的一个交点为 ，且 ，那么双曲线 的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（7）已知定义在 上的函数 的对称轴为 ，且当 时， .若函数 在区间 （ ）上有零点，则 的值为
（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或
（8）已知向量 ， ， 是坐标原点，若 ，且 方向是沿 的方向绕着 点按逆时针方向旋转 角得到的，则称 经过一次 变换得到 .现有向量 经过一次 变换后得到 ， 经过一次 变换后得到 ，…，如此下去， 经过一次 变换后得到 .设 ， ， ，则 等于
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数 的虚部是 .
（10） 的展开式中 的系数是 ．
（11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来 次体育测试成绩的茎叶图，则甲 次测试成绩的平均数是 ，乙 次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．
（12）如图，已知 与圆 相切于 ，半径 ， 交
于 ，若 , ，则 ， ．
（13）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，
丙不排在两头，则这样的排法共有 种．
（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一
行增加两项，若 ， 则位于第10行的第8列的项
等于 ， 在图中位于 ．（填第几行的第几列）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
在△ 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
（16）（本小题共14分）
如图，已知 是直角梯形，且 ，平面 平面 ， ， ， ， 是 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角大小的余弦值．
（17）（本小题共13分）
某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.
（18）（本小题共14分）
已知函数 ，（ 为常数， 为自然对数的底）．
（Ⅰ）当 时，求 ；
（Ⅱ）若 在 时取得极小值，试确定 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由 的极大值构成的函数为 ，将 换元为 ，试判断曲线 是否能与直线 （ 为确定的常数）相切，并说明理由．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且△ 的周长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过原点 的两条互相垂直的射线与椭圆 分别交于 ， 两点，证明：点 到直线 的距离为定值，并求出这个定值．
（20）（本小题共13分）
设 是由 个有序实数构成的一个数组，记作： .其中 称为数组 的“元”， 称为 的下标. 如果数组 中的每个“元”都是来自 数组 中不同下标的“元”，则称 为 的子数组. 定义两个数组 ， 的关系数为 .
（Ⅰ）若 ， ，设 是 的含有两个“元”的子数组，求 的最大值；
（Ⅱ）若 ， ，且 ， 为 的含有三个“元”的子数组，求 的最大值；
（Ⅲ）若数组 中的“元”满足 .设数组 含有四个“元” ，且 ，求 与 的所有含有三个“元”的子数组的关系数 的最大值.
北京市东城区2014-2013学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案 （理科）
一、（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）D （7）A （8）B
二、题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13） （14） 第 行的第 列
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ，
由正弦定理可得 ，
因为在△ 中， ，
所以 .
又 ，
所以 .
（Ⅱ）由余弦定理 ，
因为 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
当且仅当 时， 取得最大值 .
（16）（共14分）
证明（Ⅰ）取 的中点 ，连结 ， ．
因为 是 的中点，
所以 ， ．
因为 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形．
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）因为 ，平面 平面 ，
所以以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 轴在平面 内．
由已知可得 ， ， ， ．
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ．
由
所以
取 ，
所以 ．
又因为平面 的一个法向量为
．
所以 ．
即平面 与平面 所成锐二面角大小的余弦值为 ．
（17）（共13分）
（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：
．
（Ⅱ） 的可能取值是： ．
0246810
所以 ．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）当 时， ．
．
所以 ．
（Ⅱ）
．
令 ，得 或 ．
当 ，即 时，
恒成立，
此时 在区间 上单调递减，没有极小值；
当 ，即 时，
若 ，则 ．
若 ，则 ．
所以 是函数 的极小值点．
当 ，即 时，
若 ，则 ．
若 ，则 ．
此时 是函数 的极大值点．
综上所述，使函数 在 时取得极小值的 的取值范围是 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当 ，且 时， ，
因此 是 的极大值点，极大值为 ．
所以 ．
．
令 ．
则 恒成立，即 在区间 上是增函数．
所以当 时， ，即恒有 ．
又直线 的斜率为 ，
所以曲线 不能与直线 相切．
（19）（共13分）
解：（I）由题意知， ，所以 ．
因为
所以 ，
所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（II）由题意,当直线 的斜率不存在，此时可设 ， .
又 ， 两点在椭圆 上，
所以 ， ．
所以点 到直线 的距离 ．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
由 消去 得
．
由已知 ．
设 ， ．
所以 ， ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
即 ．
所以 ．
整理得 ，满足 ．
所以点 到直线 的距离
为定值．
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依据题意，当 时， 取得最大值为2．
（Ⅱ）①当 是 中的“元”时，由于 的三个“元”都相等及 中 三个“元”的对称性，可以只计算 的最大值，其中 ．
由 ，
得 ．
当且仅当 ，且 时， 达到最大值 ，
于是 ．
②当 不是 中的“元”时，计算 的最大值，
由于 ，
所以 ．
，
当且仅当 时，等号成立．
即当 时， 取得最大值 ，此时 ．
综上所述， 的最大值为1．
（Ⅲ）因为 满足 ．
由 关系的对称性，只需考虑 与 的关系数的情况．
当 时，有 ．
．
即 ，且 ， ， 时，
的最大值为 ．
当 时， ，
得 最大值小于 ．


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