2013年高考数学全国卷一理科试题（附答案）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）
数 学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
在 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
第一部分 （ 共60分）
注意事项：
1、必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 的展开式中 的系数是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、复数 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数 在 处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于
4、如图，正方形 的边长为 ，延长 至 ，使 ，连接 、 则 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、函数 的图象可能是（ ）
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）
A、 B、 C、 D、 且
8、已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗 原料1千克、 原料2千克；生产乙产品1桶需耗 原料2千克， 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
10、如图，半径为 的半球 的底面圆 在平面 内，过点 作平面 的垂线交半球面于点 ，过圆 的直径 作平面 成 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为 ，该交线上的一点 满足 ，则 、 两点间的球面距离为（ ）
A、 B、 C、 D、
11、方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
12、设函数 ， 是公差为 的等差数列， ，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集 ，集合 ， ，则 ___________。
14、如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是____________。
15、椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ，当 的周长最大时， 的面积是____________。
16、记 为不超过实数 的最大整数，例如， ， ， 。设 为正整数，数列 满足 ， ，现有下列命题：
①当 时，数列 的前3项依次为5,3,2；
②对数列 都存在正整数 ，当 时总有 ；
③当 时， ；
④对某个正整数 ，若 ，则 。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） 和 ，系统 和 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 的值；
（Ⅱ）设系统 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学期望 。
18、(本小题满分12分)
函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点， 、 为图象与 轴的交点，且 为正三角形。
（Ⅰ）求 的值及函数 的值域；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的值。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 。
（Ⅰ）求直线 与平面 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 的大小。
20、(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立。
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，当 为何值时， 最大？并求出 的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图，动点 到两定点 、 构成 ，且 ，设动点 的轨迹为 。
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 ，且 ，求 的取值范围。
22、(本小题满分14分)
已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。
（Ⅰ）用 和 表示 ；
（Ⅱ）求对所有 都有 成立的 的最小值；
（Ⅲ）当 时，比较 与 的大小，并说明理由。


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