2013年高三数学第三次调研试卷（南通市有答案）

南通市2013届高三第三次调研测试
数学参考答案及评分建议
一、题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 已知集合 ， ，则 ▲ ．
【答案】
2． 设复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 的
模为 ▲ ．
【答案】
3． 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 ▲ ．
【答案】
4． “ ”是“ ”成立的 ▲ 条件．
（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）
【答案】必要不充分
5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆
机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布
直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动
车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时
段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．
【答案】
6． 在平面直角坐标系 中，抛物线 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦
点到准线的距离为 ▲ ．
【答案】4
7． 从集合 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为
▲ ．
【答案】
8． 在平面直角坐标系 中，设点 为圆 ： 上的任意一点，点 (2 ， )
( )，则线段 长度的最小值为 ▲ ．
【答案】
9． 函数 ， ， 在 上
的部分图象如图所示，则 的值为 ▲ ．
【答案】
10．各项均为正数的等比数列 中， ．当 取最小值时，数列 的通项公式an= ▲ ．
【答案】
11．已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交
于四个不同点 ， ， ， ．若 ，则实数 的值为 ▲ ．
【答案】
12．过点 作曲线 ： 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，过点 再作
曲线 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，…，依次下去，得到第 个
切点 ．则点 的坐标为 ▲ ．
【答案】
13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB ， ，CD ．
若 ，则 的值为 ▲ ．
【答案】
14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1 a2 a3 ，a1a42 a2a4 a2 ，且a1 a2 a3，则a4的取值
范围是 ▲ ．
【答案】
二、解答题
15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，四条侧棱长均相等．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
证明：（1）在矩形 中， ，
又 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ． ………6分
（2）如图，连结 ，交 于点 ，连结 ，
在矩形 中，点 为 的中点，
又 ，
故 ， ， ………9分
又 ，
平面 ，
所以 平面 ， ………12分
又 平面 ，
所以平面 平面 ． ………14分
16．在△ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，c．已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）设 ，求T的取值范围．
解：（1）在△ABC中，
， ………3分
因为 ，所以 ，
所以 ， ………5分
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ． ………7分
（2）
………11分
因为 ，所以 ，
故 ，因此 ，
所以 ． ………14分
17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，
厚度均为4 mm，中间留有厚度为 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为 的均匀介质，
两侧的温度差为 ，单位时间内，在单位面积上通过的热量 ，其中 为热传导系数．
假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系
数为 ，空气的热传导系数为 ．）
（1）设室内，室外温度均分别为 ， ，内层玻璃外侧温度为 ，外层玻璃内侧温度为 ，
且 ．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过
的热量（结果用 ， 及 表示）；
（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计
的大小？
解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为 ， ，
则 ， ………2分
………6分
． ………9分
（2）由（1）知 ，
当 4%时，解得 （mm）．
答：当 mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分
18．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．
分别过 ， 的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
（1）解：由题意，得 ， ，故 ，
从而 ，
所以椭圆的方程为 ． ① ………5分
（2）证明：设直线 的方程为 ，②
直线 的方程为 ，③ ………7分
由①②得，点 ， 的横坐标为 ，
由①③得，点 ， 的横坐标为 ， ………9分
记 ， ， ， ，
则直线 ， 的斜率之和为 ………13分
． ………16分
19．已知数列 是首项为1，公差为 的等差数列，数列 是首项为1，公比为 的等比
数列
（1）若 ， ，求数列 的前 项和；
（2）若存在正整数 ，使得 ．试比较 与 的大小，并说明理由．
解：（1）依题意， ，
故 ，
所以 ， ………3分
令 ， ①
则 ，②
① ②得， ，
，
所以 ． ………7分
（2）因为 ，
所以 ，即 ，
故 ，
又 ， ………9分
所以
综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时， ．
………16分
（注：仅给出“ 时， ； 时， ”得2分．）
20．设 是定义在 的可导函数，且不恒为0，记 ．若对定义域内的每
一个 ，总有 ，则称 为“ 阶负函数”；若对定义域内的每一个 ，总有 ，
则称 为“ 阶不减函数”（ 为函数 的导函数）．
（1）若 既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数 的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数” ，如果存在常数 ，使得 恒成立，试判断 是
否为“2阶负函数”？并说明理由．
解：（1）依题意， 在 上单调递增，
故 恒成立，得 ， ………2分
因为 ，所以 ． ………4分
而当 时， 显然在 恒成立，
所以 ． ………6分
（2）①先证 ：
若不存在正实数 ，使得 ，则 恒成立． ………8分
假设存在正实数 ，使得 ，则有 ，
由题意，当 时， ，可得 在 上单调递增，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
故必存在 ，使得 （其中 为任意常数），
这与 恒成立（即 有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当 时， ，即 ； ………13分
②再证 无解：
假设存在正实数 ，使得 ，
则对于任意 ，有 ，即有 ，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以 无解，
综上得 ，即 ，
故所有满足题设的 都是“2阶负函数”． ………16分


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