山东2013年高三理科数学高考试题及答案解析

2013年山东高考数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
　　（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )
　　 A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 元素的个数是( C )
A. 1 B. 3 C. 5 D.9
　　（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( A )
　　（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2
　　（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为 的正 三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( B )
　　（A） （B） （C） （D）
　　（5）将函数y=sin（2x + ）的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的一个可能取值为 B
　　（A） （B） （C）0 （D）
　　（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组： ，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 C
　　（A）2 （B）1 （C） （D）
　　（7）给定两个命题p、q，若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的 B
　　（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件
　　（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 　　
（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D
　　（A）　 （B） (C) (D)
　　（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A
　　（A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0
　　（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B
　　（A）243 （B）252 （C）261 （D）279
　　（11）抛物线C1：y= x2(p＞0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= D
　（12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最大值时， 的最大值
为 B （A）0 （B）1 （C） （D）3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
　（13）执行右面的程序框图，若输入的 的值为0.25，则输入的n的值为 3
　(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得 x+1 - x-2 ≥1成立的概率为
（15）已知向量 与 的夹角为 ，且 若
且 ,则实数 的值为
（16）定义“正对数”： ，现有四个命题：
①若 ，则
②若 ，则
③若 ，则
④若 ，则
其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
　　（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= .
　（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin（A-B）的值.
解答：（1）由cosB= 与余弦定理得， ，又a+c=6，解得
（2）又a=3,b=2， 与正弦定理可得， , ，
所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=
　
　（18）（本小题满分12分）
　如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。
　　（Ⅰ）求证：AB//GH；
　　（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 .
解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB
同理：EF//AB，所以EF//CD，EF 平面EFQ，
所以CD//平面EFQ，又CD 平面PCD,所以
CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.
(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为 ，平面EFG的一个法向量为 ，可得 ,所以二面角D-GH-E的余弦值为
（19）本小题满分12分
　　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.
　（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为
3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.
解答：（1） ， ，
（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0
相应的概率依次为： ，所以EX=
　　（20）（本小题满分12分）
　　设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+ = λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N?）.求数列｛cn｝的前n项和Rn.
解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，
所以
（2）由Tn+ = λ可得， ，Tn-1+ = λ两式相减可得，当 时， ，所以当 时，cn=b2n= ，错位相减法可得，Rn=
当 时，cn=b2n= ，可得Rn=
　　（21）（本小题满分13分） 　
设函数 是自然对数的底数， .
（1）求 的单调区间，最大值；
（2）讨论关于x的方程 根的个数.
解答：（1） ，令 得， ，
当
所以当 时，函数取得最的最大值
（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到 ，然后递减到c，而函数lnx是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。
故令f(1)=0得， ，
所以当 时，方程有两个根；
当 时，方程有一两个根；
当 时，方程有无两个根.
（22）（本小题满分13分）
　　椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.
　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；
　　（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线
　　PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值.
解答：（1）由已知得， ， ，解得
所以椭圆方程为：
（2）由题意可知： = , = ,设 其中 ，将向量坐标代入并化简得：m（ ，因为 ，
所以 ，而 ，所以
（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
，所以 ，而 ，代入 中得：


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