分解方法的延拓

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第一讲 分解方法的延拓
——换元法与主元法
因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．
一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．
所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．
所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．
例题求解
【例1】 分解因 式： = ．
( “五羊杯”竞赛题)
思路点拨 视 为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．
【 例2】 多项式 因式分解后的结果是( )．
A．(y－z)(x+y)(x－z) B．(y－z)(x－y)(x＋z)
C． (y+z)(x一y)(x+z) D．(y十z)(x+y)(x一z)
(上海市竞赛题)
思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．
【例3】把下列各式分解因式：
(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市竞赛题)
(2)1999x2一(19992一1)x一1999； (重庆市竞赛题)
(3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2； (“希望杯”邀请赛试题)
(4)(2x－3y)3十(3x－2y)3－ 125(x－y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)
思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．

【例4】把下列 各式分解因式：
(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b)；
(2)x2+xy－2y2－x+7y－6．
思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解 法或用待定系数法分解．
【例5】证明：对任何整数 x和y，下式的值都不会等于33．
x5+3x4y－5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5．
(莫斯科奥林匹克八年级试题)
思路 点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．

注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：
（1）按字母分组：
(2)按次数分组；
(3)按系数分组．
为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：
（1） ；
(2)
学力训练

1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x2+3x)－8＝ ．
2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12= ．
3．分解因式：x2－xy－2y2－ x－y= ． (重庆市中考题)
4．已知二次三项式 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为 ．
5．将多项式 分解因式，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
(北京中考题)
6．下列5个多项式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．
A．①、②、③ B．②、③ 、④ C．①③ 、④、⑤ D．①、②、④
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．
A． B． C． D．
(“希望杯”邀请赛试题)
8．若 ， ，则 的值为( )．
A． B． C． D．0 (大连市“育英杯”竞赛题)
9．分解因式
（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；
(2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；
(3)x4+2001x2+2000x+2001；
(4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2；
(5) ；
(6) ． (“希望杯”邀请赛试题)
10．分解因式： = ．
11．分解因式： = ．
12．分解因式： = ．（ “五羊杯”竞赛题）
13．在1~100之间若存在整数n，使 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有 个． (北京市竞赛题)
14． 的因式是( )
A． B． C． D． E．
15．已知 ，M= ，N= ，则M与N的大小关系是( )
A．M N C．M＝N D．不能确定
(第 “希望杯”邀请赛试题)
16．把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ； (湖北省黄冈市竞赛题)
(3) ； (天津市竞赛题)
(4) ；（“五羊杯”竞赛题）
(5) ． (天津市竞赛题)
17．已知公式：
；
．
利用或者不利用上述公式， 分解因式 ： (“祖冲之杯”邀请赛试题)
18．已知在ΔABC中， (a、b、c是三角形三边的长)．
求证： (天津市竞赛题)

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