2012届高考数学难点突破复习 立体几何初步

立体几何初步

本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．
其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．
再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．
第1课时 空间直线

1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ．
2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，
异面直线：不同在任 平面，没有公共点．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ．
5．异面直线的判定定理
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)
6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．

例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2) 求AB和CD间的距离．

例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
且 ASB＝ BSC＝ CSA＝ ，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角．

例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P
分别为A1B1、BB1、CC1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；

例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底
面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．
(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．

求两条异面直线所成角的步骤：
(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．

1.在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝ ，求AD、BC所成角的大小．

2.正 ABC的边长为a，S为 ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离；
(2) 求异面直线SA和EF所成角．

3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．

4.如图，在正方体 中，
E、F分别是 、CD的中点．
（１）证明 ；（２）求 与 所成的角。

第2课时 直线和平面平行

1．直线和平面的位置关系 、 、 ．
直线在平面内，有 公共点．直线和平面相交，有 公共点．
直线和平面平行，有 公共点．
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．
2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．
(记忆口诀：线线平行 线面平行)
3．直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)

例1．如图，P是 ABC所在平面外一点，M PB，
试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据．

例2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
( 1 ) 证明：PA∥平面EDB；
( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
例3．已知： ABC中， ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将 ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD．

例4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
( 1 ) 求证：AC⊥BC1；(2) 求证：AC1∥平面CDB1；
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．
2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．

1.如图，已知 平面 ， 平面 ，△ 为等边三角形，
， 为 的中点.
(1) 求证： 平面 ；
(2) 求证：平面 平面 ；

2.（09北江中学文期末）如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 面 ， 、 为别为 、
的中点，且 ， ，
（Ⅰ）求四棱锥 的体积；
（Ⅱ）求证：直线 ∥平面

第3课时 直线和平面垂直

1．直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．
2．直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
3．直线和平面垂直性质
若a⊥ ，b 则 若a⊥ ，b⊥ 则
若a⊥ ，a⊥ 则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
4．点到平面距离
过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离．
5．直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．

例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为 ABC的垂心．求证：OG 平面ABC．

例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．
(1) 求证：MN⊥CD；
(2) 若 PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．

例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．
(1) 求证：EF⊥平面PAB；
(2) 设AB＝ BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．

例4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝ a．
(1) 求证：PD⊥面ABCD；
(2) 求直线PB与AC所成角；
(3) 求二面角A－PB－D大小．

线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；
(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若 ∥ ，a⊥ 则a ⊥

1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．

2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．
求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC．

3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD， BAD＝ BDC＝90°，AB＝AD＝3 ，BC＝2CD．求：
(1) 求AC的长；
(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD；
(3) 求D点到平面ABC的距离d．

第4课时 平面与平面平行

1．两个平面的位置关系：
2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
4．两个平行平面距离
和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离．

例1.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的是…( )
A.l α,m α,且l∥β,m∥β B.l α,m α,且l∥m
C.l⊥α,m⊥β,且l∥m D.l∥α,m∥β,且l∥m
例2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
例3．如图：直三棱柱 ，底面三角形ABC中， ， ，棱 ，M、N分别为A1B1、AB的中点
①求证：平面A1NC∥平面BMC1； ②求异面直线A1C与C1N所成角的大小；
③求直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小。

1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面（ ）
A 邻边不等的平行四边形； B 菱形但不是正方形
C 邻边不等的矩形 D 正方形
2.设有不同的直线，a、b和不同的平面 ，给出下列三个命题，其中正确的个数是（ ）
（1）a∥ ，b∥ 则a∥b （2）若a∥ ，a∥ 则 ∥
（3）若 ⊥ ， ⊥ 则 ∥
A. 0 B. 1 C. 2 D .3
3. 是两个平面， 、 是两条直线，那么 ∥ 的一个充分而不必要的条件是 ( )
A. ∥ ，m∥ B. ∥m
C. ⊥ ,m⊥ 且 ∥m D . ∥ ，m∥ ，且 ∥m
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：(1) AP MN；(2) 平面MNP∥平面A1BD．

5.P是 所在平面外一点， 、 、 分别是 、 、 的重心
（1）求证：平面 ∥平面ABC （2）求 ：

第5课时 两个平面垂直

1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．
3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．
例1 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求证：平面ABC⊥平面BSC．

例2.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．
⑴ 求证：AF∥平面PEC；
⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；
⑶ 设AD＝2，CD＝2 ，求点A到面PEC的距离．

在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．

1.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
⑴ 求证：AB⊥BC；
⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．

2.已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1） 证明：平面PED⊥平面PAB；
（2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．

3.如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD；
⑵ 求证AD⊥PB；
⑶ 求二面角A－BC－P的大小；
⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，
使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

第6课时 空间角
1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a' a，b' b，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 ．
2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角．
规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角．其范围是 ．
3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ．

例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求EF与平面PAD所成角的大小；
（2）求EF与CD所成角的大小；
（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小．

例2.正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点．
⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
⑵ 求证：AB1∥平面BEC1；
⑶ 若 ，求二面角E－BC1－C的大小．

1．两异面直线所成角的作法：① 平移法：② 补形法
2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．
3．平面角的作法：① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法．
4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S'＝Scosθ来求;空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成．

1、如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（　　）　　
（A） 　　（B） 　　（C） 　　（D）

2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D.

3.如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角
C1—BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成
的角的大小．

4. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：
⑴ AD与平面DBC所成的角；
⑵ 二面角A－BD－C的正切值．

第7课时 空间距离

1．点与点的距离：两点间 的长．
2．点与线的距离：点到直线的 的长．
3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长．
4．点与面的距离：点到平面的 的长．
5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长．
6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长．
7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长．

例1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点.
⑴ 求证：AD⊥D1F；
⑵ 求证：AE与D1F所成的角；
⑶ 求点F到平面A1D1E的距离．

例2.如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的取值范围；
（2）当二面角A—BC—D的平面角为 时，求点C到平面ABD的距离．
第8课时 棱柱 棱锥

例1. 如图，正三棱锥P—ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角．
（1）求侧PAB与底面ABC成角大小；
（2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角；
（3）设AB＝ ，求P到面ABC的距离．

例2. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．
⑴ 求证：PA⊥BD；
⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值；
⑶ 求直线PD与BC所成的角．

例3.（2009湖南卷文）（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱 中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE E.
（Ⅰ）证明：平面 平面 ;
（Ⅱ）求直线AD和平面 所成角的正弦值。

1．正四棱锥的侧棱长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，则该棱锥的体积为
A．3 B．6 C．9 D．18
2．已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的中点，则 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在三棱锥 中， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求点 到平面 的距离．

4．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形．已知 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）证明 平面 ；
（Ⅱ）求异面直线 与 所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角 的大小．

5、如图，已知 平面 ， 平面 ，△ 为等边三角形，
， 为 的中点.
(1) 求证： 平面 ；
(2) 求证：平面 平面 ；
(3) 求直线 和平面 所成角的正弦值.
6.（2009北京卷文）（本小题共14分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

第9课时 球

例1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
例2． 长方体 的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= ，
，则顶点A、B间的球面距离是( )
A． B． C． D．2
例3．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2

计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：
(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；
(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；
(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；
(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)．

1.长方体 的各顶点都在半径为1的球面上,其中 ,则两 点的球面距离为( )
A． B． C． D．
2．设 是球心 的半径 上的两点，且 ，分别过 作垂线于 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )
（Ａ） 　　（Ｂ） 　　（Ｃ） 　　（Ｄ）

3．已知点 在同一个球面上, 若
,则 两点间的球面距离是


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