配方法的解题功能

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用 ．
运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．
例题求解
【例1】已 知有理数x，y，z满足 ，那么(x—yz)2的值为 ． (北京市竞赛题)
思 路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．
【例2】 若 ，则 可取得的最小值为( )
A．3 B． C． D．6
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 通过引参，设 ，把x，y，z用k的代数式表示，则 转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式： ．
(匈牙利数学奥林匹克试题)
思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．
【例4】 求方程m2－2mn+14n2=217的自然数解． (上海市竞赛题)
思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．
【例5】求实数 x、y的值，使得(y－1)2+(x+y－3)2+ (2x+y－6)2达到最小值．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x、y的值．
【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC＝AH=CF=CG，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由．
(2温州市中考题)
思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm，则BE=DG=(20－x)m，四边形E FGH的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．
注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：
(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；
(2)非负教的最小值为零．
学历训练
1．若 ，则 ．
(2江西省中考题)
2．设 ， ，则 的值等于 ．
( “希望杯” 邀请赛试题)
3．分解因式： = ．
4，已知实数 x、y、z满足 ， ，那么 = ．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
5．若实数x、y 满足 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知 ， ， ，则多项式 的 值为( )
A．0 B．1 C． 2 D．3
(全国初中数学竞赛题)
7．整数x、y满足不等式 ，则x+y的值有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)
8．化简 为( )
A．5－4 B． 4 －l C．5 D． 1 (2003年天津市竞赛题)
9．已知正整数 a、b、c满足不等式 ，求a、b、c的值．
(江苏省竞赛题)
10．已知x、y、z为实数，且满足 ，求 的最小值．
(第12届“希望杯”邀请赛试题)
11．实数x、y、z满足 ，则 的值为 ．
12．若 ，则a+b+c的值为 ．
13．x、y为实数，且 ，则x、y的值为x= ，y= ．
14．已知 ，那么当x= ，y= 时，M的值最小，M的最小值为 ．
15．已知 ， ，则a+b＝( )
A．4 B．0 C．2 D．－2
(重庆市竞赛题)
16．设 ， ，则 的值为( )
A． B． C ．2 D． (江苏省竞赛题)
17．若 a、b、c、d是乘积为l的4个正数，则代数式 的最小值为( )
A．0 B．4 C．8 D．10
18．若实数a、b、c满足 ，代数式 的最大值是( )
A．2 7 D．18 C．15 D．12
19．已知x+y+z=1，求证： ．
(苏奥尔德莱尼基市竞赛 题)
20．已知a>b，且 ，a、b 为自然数，求a、b的值．
21．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足 ， ， ，试求

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