平行截割

第十九讲 平行截割
平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．
利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形：

例题求解
【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= ．
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)

思路点拨 图中有形如“X”型的基本图形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一条线段的代数式表示．
【例2】如图，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则 的值为( )
A． B．1 C． D．2
(江苏省泰州市中考题)
思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含 ， 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．
【例3】 如图，BD、BA，分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．
(1)求证：四边形AEBD为矩形；
(2)若 =3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且 ，求证：△AHG是等腰三角形．
(厦门市中考题)

思路点拨 对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG．
【例4】 如图，梯形AB CD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一点(中点除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
(上海市闽行区中考题)

思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF，即需证明 ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明．
注 若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：
(1)利用比例线段求线段的长度；
(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．
【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线 平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM×PN=PR×PS
(山东省竞赛题)

思路点拨 由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系
学力训练
1．如图，△ABC中有菱形AMPN，如果 ，则 ．
(南 通市中考题)
2．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若 ，则 ；若 ，则 ．(江苏省镇江市中考题)

3．如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若 ，BC=8，则AE的长为 ．
(苏州市中考题)
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE=x (?)，BF=y(cm)，用x的代数式表示y 得 ．
(黑龙江省中考题)

5．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确比例式的个数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q是BD、CE的中点，则 等于( )
A． B． C． D．
7．如图，已知在平行四边形ABCD中，O1、O2，O3为对角线BD上三点，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，连结AOl并延长交BC于点C，连结EO3延长交AD于点F，则AD：FD等于( )
A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1
(河北省中考题)

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，则DF：FE等于( )
A．5：2 B．2：l C ．3：1 D．4：1
(江苏省竞赛题)
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB= CD，E是AB上一点，AE=2BE，M是腰BC的中点，连结EM并延长交DC的延长线于点F，连结BD交EF于点N求证：BN：ND=l：10． (河南省中考题)
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交 点O，且EF∥AD．
(1)求证：OE=OF，(2)求 的值；
（3）求证： ．

11．已知如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，我们可以证明 成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
(1) 还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由；
(2)请找出S△ABD，S△BED，S△BDC间的关系式，并给出证明．
(黄冈市中考题)
12．如图，在梯形ABCD 中．AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，BE延长后交AD于F，那么 = ．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD、BC的延长线分别交于F、E点，设BC=a，CD=b，CE=c，则CF= ．
(山东赛区选拔赛试题)
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD= a ，BC= b ，E、F分别是AD、BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为 ．
15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15m，分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处，向两侧地面上的E、D、B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为 m．
(2000年全国初中数学联赛试题)
16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E，F是BC的三等分点．AE、AF分别交BD于M、N两点，则BM：MN：ND=( )
A．3：2；1 B．4：2：l C．5：2：1 D．5：3：2
(2004年武汉市选拔赛试题)
17．如图，在梯形ABCD中 ，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为( )
A． B． C． D．
(山东省竞赛题)
18．如图，平行四边形ABCD中，F、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判 断下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG= BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

19．如图，已知△ABC， ， ，AD、BE交于F，则 的值( )
A． B． C． D．
20．如图，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山东省竞赛题)

21．如图，已知在平行四边形ABCD中，F为AB边的中点，AF= FD，FE与AC相交于G，求证：AG= AC．
22．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE．
(湖北省黄冈市竞赛题)
23．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
(1)当 时，有 (如图甲)；
（2）当 时，有 (如图乙)；
(3)当 时，有 (如图丙)；
在图丁中，当 时，参照上述研究结论 ，请你猜想用 表示 的一般结论，并给出证明(其中n是正整数)
( 山西省中考题)

24．如图，在平行四边形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F．
(1)求证：EF∥BD；
(2)设平行四边形ABCD的面积是S，若S△AEF= S，求n的值． (山东省竞赛题)

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