第十四章一次函数

第十四章　一次函数
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”．
函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系．
【本章难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．
2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系．
小结3 学法指导
1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数．
2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想．
3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．
4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．
5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．

知识网络结构图


专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 函数自变量的取值范围
【专题解读】 一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论．
例1 函数 中，自变量x的取值范围是 ( )
A．x≠0 B．x≠1
C．x≠2 D．x≠－2
分析 由x＋2≠0，得x≠－2．故选D．
例2 函数 中，自变量x的取值范围是 ( )
A．x≥－1 B．－1＜x＜2
C．－1≤x＜2 D．x＜2
分析　由 得 即－1≤x＜2．故选C．
专题2 一次函数的定义
【专题解读】 一次函数一般形如y＝kx＋b，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．
例3 在一次函数y＝(m－3)xm－1＋x＋3中，符x≠0，则m的值为 ．
分析 由于x≠0，所以当m－1＝0，即m＝1时，函数关系式为y＝x＋1．当m－3＝0，即m＝3时，函数关系式为y＝x＋3；当m－1＝1，即m＝2时，函数关系式为y＝(m－2)x＋3，当m＝2时，m－2＝0，此时函数不是一次函数．所以m＝1或m＝3．故填1或3．
专题3　　一次函数的图象及性质
【专题解读】 一次函数y＝kx＋b的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为 ，(0，b)．它的倾斜程度由k决定，b决定该直线与y轴交点的位置．
例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．
(1)画出这个函数的图象；
(2)求这个一次函数的解析式．
分析 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．
解：(1)图象如图14－104所示．
　(2)设函数解析式为y＝kx＋b，则 解得
所以函数解析式为y＝2x＋1．

　　二、规律方法专题
　　专题4　一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系
　　【专题解读】　可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．
例5　如图14－105所示，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是　　 　　．
分析　由图象知当x＞－2时，y＝3x＋b对应的y值大于y＝ax－3对应的y值，或者y＝3x＋b的图象在x＞－2时位于y＝ax－3的图象上方．故填x＞－2．
专题5　一次函数的应用
【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题．
例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．
(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象；
(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?
分析　由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内)．
解：(1)设函数关系式为Q＝kt＋b(k≠0)．
　 由题意可知 ∴
　∴余没量Q与时间t之间的函数关系式是Q＝－6t＋40．
　　∵40－6t≥0，∴t≤ ．
　∴自变量t的取值范围是0≤t≤ ．
(2)当t＝0时，Q＝40；当t＝ 时，Q＝0．
　 得到点(0，40)，( ，0)．
　 连接两点，得出函数Q＝－6t＋40(0≤t≤ )的图象，如图14－106所示．
　　(3)当Q＝0时，t＝ ，那么 －3＝ (小时)．
∴拖拉机还能耕地 小时，即3小时40分．
　　规律．方法　运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的．
三、思想方法专题
专题6　函数思想
【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．
例7　利用图象解二元一次方程组
分析　方程组中的两个方程均为关于x，y的二元一次方程，可以转化为y关于x的函数．由①得y＝2x－2，由②得y＝－x－5，实质上是两个y关于x的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解．
解：由①得y＝2x－2，
由②得y＝－x－5．
在平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x－2，y＝－x－5的图象，如图14－107所示．
观察图象可知，直线y＝2x－2与直线y＝－x－5的交点坐标是(－1，－4)．
∴原方程组的解是
规律?方法　解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解．
例8　我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了y mL水．
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)当滴了1620 mL水时，小明离开水龙头几小时?
分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时＝3600秒，∴1小时滴水(3600×2)滴，又∵每滴水约0．05 mL，每小时约滴水3600×2×0．05＝360(mL)．
解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝360x(x≥0)．
(2)当y＝1620时，有360x＝1620，∴x＝4．5．
∴当滴了1620 mL水时，小明离开水龙头4．5小时．
　　专题7　数形结合思想
　　【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
分析 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB＝OA＝2，所以点B的坐标为(0，－2)，再结合A点坐标，即可求出一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)．
∵OA＝OB，点A的坐标为(2，0)，
∴点B的坐标为(0，－2)．
∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y＝kx＋b，
　　∴ ∴
∴一次函数的解析式为y＝x－2．
【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用．
　专题8　分类讨论思想
　【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．
例10　在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14－109所示，能否用函数关系式表示这段记录?
分析　根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(m／s)之间的关系，在10 s内，赛车的速度从0增加到7．5 m／s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．
解：观察图象可知．
当t在0～1 s内时，速度v与时间t是正比例函数关系，v＝7．5t(0≤t≤1)．
当t在1～8 s内时，速度v保持不变，
v＝7．5(1＜t≤8)；
当t在8～10 s内时，速度v与时间t是一次函数关系，设一次函数为v＝kt＋b(k≠0)，又一次函数图象过(8，7．5)和(10，0)，
则 解得
∴v＝－3．75t＋37．5(8＜t≤10)．
即
专题9 方程思想
【专题解读】 方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法．在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式．
例11 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，－2)及点B(1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．
分析　可将由已知条件给出的坐标分别代入y＝kx＋b中，通过解方程组求出k，b的值，从而确定函数关系式．
解：由题意可知 ∴
∴函数关系式为y＝2x＋4．图象如图14－110所示．

2011中考真题精选
一、选择题
1. （2011新疆乌鲁木齐，5，4）将直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（　　）
A、y＝2x－1B、y＝2x－2 C、y＝2x＋1D、y＝2x＋2
考点：一次函数图象与几何变换。
专题：探究型。
分析：根据函数图象平移的法则进行解答即可．
解答：解：直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x－1），
即y＝2x－2．
故选B．
点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
2. （2011南昌，8，3分）已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（　　）
A.?2 B.?1 C.0 D.2
考点：一次函数图象与系数的关系.
专题：探究型.
分析：根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
解答：解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，∴b＞0，∴四个选项中只有2符合条件．故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当b＜0时，函数图象与y轴相较于负半轴．
3. （2011陕西，4，3分）下列四个点，在正比例函数 的图像上的点是（ ）
A．(2,5) B．(5,2) C．(2,-5) D．(5,-2)
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：函数思想。
分析：根据函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知 是定值．
解答：解：由 ，得 =? ； A、∵ = ，故本选项错误； B、∵ = ，故本选项错误； C、∵ =? ，故本选项错误； D、∵ =? ，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
4. （2011?台湾1,4分）坐标平面上，若点（3，b）在方程式3y=2x?9的图形上，则b值为何（　　）
A、?1B、2 C、3D、9
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：利用一次函数图象上点的坐标性质，将点（3，b）代入即可得出b的值．
解答：解：把点（3，b）代入3y=2x?9，得：b=?1．
故选A．
点评：本题考查的知识点是：在这条直线上的点的坐标一定适合这条直线的解析式．
5.（2011台湾，9，4分）如图的坐标平面上，有一条通过点（－3，－2）的直线L．若四点（－2，a）．（0，b）．（c，0）．（d，－1）在L上，则下列数值的判断，何者正确（　　）

A．a＝3 B．b＞－2 C．c＜－3 D．d＝2
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合。
分析：根据函数的图象可判断出函数的增减性，从而结合选项即可判断各选项正确与否．
解答：解：由题意得：此函数为减函数，
A．－2＞－3，故a＜－2，故本选项错误；
B．－3＜0，故－2＞b，故本选项错误；
C．0＞－2，故c＜－3，故本选项正确；
D．－1＞－2，故b＜－3，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是掌握函数的增减性，另外本题还可以利用特殊值设出符合题意的函数解析式，然后代入判断．
6. （2011重庆江津区，4，4分）直线y＝x?1的图象经过的象限是（　　）
A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限
C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限
考点：一次函数的性质。
专题：计算题。
分析：由y＝x?1可知直线与y轴交于（0，?1）点，且y随x的增大而增大，可判断直线所经过的象限．
解答：解：直线y＝x?1与y轴交于（0，?1）点，且k＝1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y＝x?1的图象经过第一、三、四象限．
故选D．
点评：本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．
7. （2011湖北咸宁，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A在 轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将□OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　）

A、y=x+1B、 　　　　C、y=3x?3D、y=x?1
考点：待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；中心对称。
分析：首先根据条件l经过点D（1，0），且将?OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．

解答：解：设D（1，0），
∵线l经过点D（1，0），且将?OABC分割成面积相等的两部分，
∴OD=OE=1，
∵顶点B的坐标为（6，4）．
∴E（5，4）
设直线l的函数解析式是y=kx+b，
∵图象过D（1，0），E（5，4），
∴ ，
解得： ，
∴直线l的函数解析式是y=x?1．
故选D．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出E点坐标．
8（2011，台湾省，15,5分）如图的坐标平面上有四直线L1、L2、L3、L4．若这四直线中，有一直线为方程式3x?5y+15=0的图形，则此直线为何？（　　）

A、L1B、L2
C、L3D、L4
考点：一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征。
专题：推理填空题。
分析：求出直线与X、Y轴的交点坐标（0，3），（?5，0），根据图象即可选出答案．
解答：解：将x=0代入3x?5y+15=0得：y=3，
∴方程式3x?5y+15=0的图形与y轴的交点为（0，3），
将y=0代入3x?5y+15=0得：x=?5，
∴方程式3x?5y+15=0的图形与x轴的交点为（?5，0），
观察图形可得直线L1与x、y轴的交点恰为（?5，0）、（0，3），
∴方程式3x?5y+15=0的图形为直线L1．
故选A．
点评：本题主要考查对一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据一次函数的图象进行判断是接此题的关键．
9. （2011山东滨州，6，3分）关于一次函数y=-x+1的图像,下列所画正确的是( )

.

【考点】一次函数的图象．
【专题】常规题型．
【分析】根据函数的k为-1，b=1，可判断函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的负半轴．
【解答】解：由题意得：函数的k为-1，b=1，
∴函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的负半轴，
结合选项可得C符合题意．
故选C．
【点评】本题考查一次函数的图象的知识，难度不大，对于此类题目要先判断增减性及与y轴交点的位置．
10. （2011山东济南，10，3分）一次函数y=（k?2）x+3的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）

A．k＞2 B．k＜2C．k＞3D．k＜3
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的图象得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
解答：解：一次函数的图象过二、四象限可知，k?2＜0，
解得k＜2．
故选B．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数的图象过二、四象限．
11. （2011泰安，13，3分）已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m．n的取值范围是（　　）
A．m＞0，n＜2B．m＞0，n＞2 C．m＜0，n＜2D．m＜0，n＞2
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的图象经过二．四象限可知m＜0，再根据函数图象与y轴交与正半轴可知n－2＞0，进而可得出结论．
解答：解：∵一次函数y＝mx＋n－2的图象过二．四象限，
∴m＜0，
∵函数图象与y轴交与正半轴，
∴n－2＞0，
∴n＞2．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象，即直线y＝kx＋b所在的位置与k．b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一．三象限．k＜0时，直线必经过二．四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
12. （2011成都，21，4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，a）在正比例函数 的图象上，则点Q（a，3a－5）位于第　 　象限．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；点的坐标。
专题：数形结合。
分析：把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值，进而根据点的Q的横纵坐标的符号可得所在象限．
解答：解：∵点P（2，a）在正比例函数 的图象上，
∴a＝1，
∴a＝1，3a－5＝－2，
∴点Q（a，3a－5）位于第四象限．
故答案为：四．
点评：考查一次函数图象上点的坐标特征；得到a的值是解决本题的突破点．
13. （2011四川雅安，10,3分）已知一次函数y=kx+b，k从2，?3中随机取一个值，b从1，?1，?2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为（　　）
A. B. C. D.
考点：列表法与树状图法；一次函数的性质。
分析：根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，即可得出答案．
解答：解：∵k从2，?3中随机取一个值，b从1，?1，?2中随机取一个值，
∴可以列出树状图：
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，
∴当k=?3，b=?1，时符合要求，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为： ，
故选：C．

点评：此题主要考查了一次函数的性质以及树状图法求概率，熟练的应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键．
14. （2011湖南怀化,7,3分）在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（　　）
A．y=x+1B．y=x?1
C．y=xD．y=x?2
考点：一次函数图象与几何变换。
专题：探究型。
分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解答：解：由“左加右减”的原则可知，在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，
其直线解析式为y=x+1．
故选A．
点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
15.（2011年广西桂林，8，3分）直线 一定经过点（ ）．
A．(1，0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1)
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：根据一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点为（0，b）进行解答即可．
答案：解：∵直线y=kx-1中b=-1，
∴此直线一定与y轴相较于（0，-1）点，
∴此直线一定过点（0，-1）．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点为（0，b）．3. (2011四川雅安10，3分)已知一次函数 ， 从 中随机取一个值， 从 中随机取一个值，则该一次函数的图像经过二．三．四象限的概率为（ ）
A B C D
考点：列表法与树状图法；一次函数的性质。
分析：根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，即可得出答案．
解答：∵k从2，?3中随机取一个值，b从1，?1，?2中随机取一个值，
∴可以列出树状图
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，
∴当k=?3，b=?1时符合要求，
∴当k=?3，b=?2时符合要求，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为 ，
故选A．

1.（2011?湖南张家界，8，3）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（　　）
A、 B、 C、 D、
考点：一次函数的图象。
分析：根据图象与y轴的交点直接解答即可．
解答：解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选C．
点评：本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
16.（2011?江西，5，3）已知一次函数y=?x+b的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以是（　　）
A、?2B、?1 C、0D、2
考点：一次函数图象与系数的关系。
分析：根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
解答：解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
k=?1，
∴b＞0，
∴四个选项中只有2符合条件．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当b＜0时，函数图象与y轴相较于负半轴．
17.（2011年江西省，5，3分）已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（　　）
A.-2 B.-1 C.0 D.2
考点：一次函数图象与系数的关系．
专题：探究型．
分析：根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
解答：解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
∴四个选项中只有2符合条件．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当b＜0时，函数图象与y轴相较于负半轴．
18. （2011安徽省芜湖市，7,4分）已知直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），则k的值为（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：待定系数法求一次函数解析式；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：运用待定系数法求一次函数解析式，代入后求出k，b的值即可．
解答：解：∵直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），
∴将（k，3）和（1，k），代入解析式得：

解得：k=± ，b=0，
则k的值为：± ．
故选B．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及直接开平方法解一元二次方程，将已知点代入得出二元一次方程组是解决问题的关键．
19.2011广州，9，3分）当实数x的取值使得 有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（ ）
A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9
【考点】函数值；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．
【解答】解：由题意得x-2≥0，
解得x≥2，
∴4x+1≥9，
即y≥9．
故选B．
【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．
20. （2010广东佛山，8，3分）下列函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是（　　）
A． B． C． D．
考点二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质
分析一次函数当k大于0时，y值随x值的增大而增大，反比例函数系数k为负时，y值随x值的增大而增大，对于二次函数根据其对称轴判断其在区间上的单调性．
解答解：A、对于一次函数y=?x+1，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误，
B、对于二次函数y=x2?1，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，当x＜0时，y值随x值的增大而减小，故本选项错误，
C、对于反比例函数 ，k＞0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误，
D、对于反比例函数 ，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大，故本选项正确，故选D．
点评本题主要考查二次函数、一次函数和反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握各个函数在每个象限内的单调性．
21. （2011湖南常德，16，3分）设min｛x,y｝表示x,y两个数中的最小值，例如min｛0,2｝=0，min｛12,8｝=8，则关于x的函数y可以表示为（ ）
A. B.
C. y =2x D. y=x＋2
考点：一次函数的性质。
专题：新定义。
分析：根据题意要求及函数性质，可对每个选项加以论证得出正确选项．
解答：解：根据已知，在没有给出x的取值范围时，不能确定2x和x+2的大小，所以不能直接表示为，C：y =2x，D：y=x＋2．
当x＜2时，可得：x+x＜x+2，即2x＜x+2，可表示为y=2x．
当x≥2时，可得：x+x≥x+2，即2x≥x+2，可表示为y=x+2．
故选：A．
点评：此题考查的是一次函数的性质，解题的关键是根据已知和函数性质讨论得出．
22. （2011?玉林，6，3分）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax?1经过的象限是（　　）
A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限
C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限
考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系。
专题：函数思想。
分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．
解答：解：∵二次函数y=ax2的图象开口向上，
∴a＞0；
又∵直线y=ax?1与y轴交与负半轴上的?1，
∴y=ax?1经过的象限是第一、三、四象限．
故选D．
点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．
23. （2011贵州遵义，7，3分）若一次函数 的函数值 随 的增大而减小，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【考点】一次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y=（2-m）x-2的函数值y随x的增大而减小，
∴2-m＜0，
∴m＞2．
故选D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小．
24. （2011河北，5，2分）一次函数y＝6x＋1的图象不经过（　　）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
考点：一次函数的性质。
专题：存在型；数形结合。
分析：先判断出一次函数y＝6x＋1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y＝6x＋1中k＝6＞0，b＝1＞0，
∴此函数经过一．二．三象限，
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一．三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．
25.（2011清远，9，3分）一次函数y=x+2的图象大致是（　 　）

考点：一次函数的图象.
专题：数形结合.
分析：根据一次函数y＝x+2与x轴和y轴的交点，结合一次函数图象的性质便可得出答案．
解答：解：一次函数y＝x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2，故一次函数y＝x+2图象经过（0，2）（－2，0）；故根据排除法可知A选项正确．故选A．
点评：本题主要考查了一次函数的性质，可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
26. （2011杭州，7，3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（　　）
A． B． C． D．
考点：一次函数的应用；一次函数的图象．
分析：因为个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，矩形的面积一定，y随着x的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案．
解答：解：因为x+y=k（矩形的面积是一定值），
整理得y=-x+k，
由此可知y是x的一次函数，，图象经过二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，
所以只有A符合要求．
故选A．
点评：此题主要考查实际问题的一次函数的图象与性质，解答时要熟练运用．

二、填空题
1. （2011江苏镇江常州，16，3分）已知关于x的一次函数y=kx+4k?2（k≠0）．若其图象经过原点，则k= ，若y随着x的增大而减小，则k的取值范围是　k＜0　．
考点：一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．
分析：（1）若其图象经过原点，则4k?2=0，即可求出k的值；（2）若y随着x的增大而减小，则一次项系数当k＜0时，图象经过二．四象限．
解答：解：（1）当其图象经过原点时：
4k?2=0，
k= ；

（2）当y随着x的增大而减小时：
k＜0．
故答案为：k= ；k＜0．
点评：本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．正确的确定一次函数的一次项系数和常数项．
2. （2011内蒙古呼和浩特，12，3）已知关于x的一次函数y=mx+n的图象如图所示，则 可化简为______.

考点：二次根式的性质与化简；一次函数图象与系数的关系．
专题：数形结合．
分析：根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．
解答：解：根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0；
又∵关于x的一次函数y=mx+n的图象与y轴交与正半轴，∴n＞0；
∴ =n-m-（-m）=n．故答案是：n．
点评：本题主要考查了二次根式的性质与化简、一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，当k＞0时，经过第一、二、三象限；当k＜0时，经过第一、二、四象限．
3. （2011陕西，15，3分）若一次函数 的图像经过 一、二、四象限，则m的取值范围是 ．
考点：一次函数的性质。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据一次函数的性质进行分析：由图形经过一、二、四象限可知（2m?1）＜0，3?2m＞0，即可求出m的取值范围
解答：解：∵y=（2m?1）x+3?2m的图象经过 一、二、四象限
∴（2m?1）＜0，3?2m＞0
∴解不等式得：m＜ ，m＜
∴m的取值范围是m＜ ．
故答案为：m＜
点评：本题主要考查一次函数的性质、求不等式，关键是确定好一次函数的一次项系数和常数项.
4. 一次函数y=3x-2的函数值y随自变量x值的增大而 增大（填“增大”或“减小”）．
考点：一次函数的性质．
专题：存在型．
分析：根据一次函数的性质判断出一次函数y=3x-2中k的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y=3x-2中，k=3＞0，
∴函数值y随自变量x值的增大而增大．
故答案为：增大．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0时，y随x的增大而增大．
5. （2011四川广安，17，3分）写出一个具体的 随 的增大而减小的一次函数解析式________________________．
考点：一次函数的性质
专题：一次函数
分析：所写的一次函数 只需满足 即可．
解答：答案不唯一，如：y＝－x＋1
点评：一次函数 的增减性与 的符号有关，而与 的符号无关．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
6.（2011天津，13，3分）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为　y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）　．
考点：一次函数的性质。
专题：开放型。
分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．
解答：解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过点（0，1），
∴b=1，
∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．
7. 表1给出了直线l1上部分点（x，y）的坐标值，表2给出了直线l2上部分点（x，y）的坐标值．

那么直线l1和直线l2交点坐标为　（2，?1）　．
考点：两条直线相交或平行问题。
专题：图表型。
分析：通过观察直线l1上和l2上部分点的坐标值，会发现当x=2时，y的值都是?1，即两直线都经过点（2，?1），即交点．
解答：解：通过观察表可知，直线l1和直线l2交点坐标为（2，?1）．
故答案为：（2，?1）
点评：解答此题的关键是找出两条直线都经过的点，即交点．
8. （2011山东省潍坊， 14，3分）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当 时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可)
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．
【解答】解：符合题意的函数解析式可以是y= ，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）
故答案为：y= ，y=-x+3，y=-x2+5等．
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．
9.（2011四川广安，17，3分）写出一个具体的 随 的增大而减小的一次函数解析式________________________．
考点：一次函数的性质
专题：一次函数
分析：所写的一次函数 只需满足 即可．
解答：答案不唯一，如：y＝－x＋1
点评：一次函数 的增减性与 的符号有关，而与 的符号无关．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
10. （2011浙江义乌，11，4分）一次函数y＝2x－1的图象经过点（a，3），则a＝　2　．
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：把所给点的横纵坐标代入一次函数可得a的值．
解答：解：∵一次函数y＝2x－1的图象经过点（a，3），
∴3＝2a－1，
解得a＝2．
故答案为：2．
点评：本题考查一次函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标就适合该函数解析式．
11. （2011?贵阳12,4分）一次函数y=2x?3的图象不经过第　二　象限．
考点：一次函数的性质。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y=2x?3中，k=2＞0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b=?3＜0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
12. （2011湖南怀化,12,3分）一次函数y=?2x+3中，y的值随x值增大而　增大　．（填“增大”或“减小”）
考点：一次函数的性质。
专题：探究型。
分析：先判断出一次函数y=?2x+3中k的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即可．
解答：解：∵一次函数y=?2x+3中k=2＞0，
∴y的值随x值增大而增大．
故答案为：增大．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大．
13. 一次函数y=-3x+2的图象不经过第 三象限．
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．
【解答】解：因为解析式y=-3x+2中，-3＜0，2＞0，图象过一、二、四象限，故图象不经过第三象限．
【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
14.（2011?株洲14,3分）如图，直线l过A、B两点，A（0，?1），B（1，0），则直线l的解析式为　y=x?1　．

考点：待定系数法求一次函数解析式。
专题：计算题；数形结合。
分析：从图象上找到直线所过的两个点的坐标，利用待定系数法求解即可．
解答：解：设函数解析式为y=kx+b，
将（1，0），（0，?1）分别代入解析式得，
，
解得 ，
函数解析式为y=x?1．
故答案为y=x?1．
点评：此题考查了待定系数法求函数解析式，从图象所在坐标系找出关键点是列方程组的必要步骤．
15.（2011吉林长春，13，3分）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是　x＞2　．

考点：一次函数的图象．
专题：数形结合．
分析：根据一次函数的图象可直接进行解答．
解答：解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y=3时x=2，故当y＜3时，x＞2．故答案为：x＞2．
点评：本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
16.（2011辽宁沈阳，13，4）如果一次函数y＝4x+b的图象经过第一、三、四象限，那么b的取值范围是　b＜0　．
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：数形结合。
分析：根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
解答：解：根据一次函数的性质和图象可知：k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．
b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
根据题意一次函数y＝4x+b的图象经过第一、三、四象限可知：b＜0．
故答案为：b＜0．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．
k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
17.（2011辽宁沈阳，13，4分如果一次函数Y=4X+B的图象经过第一、三、四象限，那么B的取值范围是　 　．
考点：一次函数图象与系数的关系。
专题：数形结合。
分析：根据图象在坐标平面内的位置关系确定K，B的取值范围，从而求解．
解答：解：根据一次函数的性质和图象可知：k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．
b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
根据题意一次函数y=4x+b的图象经过第一、三、四象限可知：b＜0．
故答案为：b＜0．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
18.（2011巴彦淖尔，11，3分）已知点A（?5，a），B（4，b）在直线y=?3x+2上，则a　　b．（填“＞”“＜”或“=”号 ）
考点：一次函数图象上点的坐标特征。
专题：探究型。
分析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再比较出?5与4的大小即可解答．
解答：解：∵直线y=?3x+2中，k=?3＜0，
∴此函数是减函数，
∵?5＜4，
∴a＞b．
故答案为：＞．
点评 ：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．

三、解答题
1. （2011湖北咸宁，23，10分）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：
P从点O出发平移次数可能到达的点的坐标
1次（0，2），（1，0）
2次
3次
（2）观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数　y=?2x+2　的图象上；平移2次后在函数　y=?2x+4　的图象上…由此我们知道，平移n次后在函数　y=?2x+2n　的图象上．（请填写相应的解析式）
（3）探索运用：
点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．

考点：一次函数图象与几何变换；坐标与图形变化-平移。
专题：探究型。
分析：（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可；
（2）先根据P点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；
（3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答．
解答：解：（1）如图所示：

P从点O出发平移次数可能到达的点
的坐标
1次
2次（0，4），（1，2），（2，0）
3次（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）
（2）设过（0，2），（1，0）点的函数解析式为：y=kx+b（k≠0），
则 ，
解得 .
故第一次平移后的函数解析式为：y=?2x+2；
∴答案依次为：y=?2x+2；y=?2x+4；y=?2x+2n．

（3）设点Q的坐标为（x，y），依题意， ．
解这个方程组，得到点Q的坐标为 ．
∵平移的路径长为x+y，
∴50≤ ≤56．
∴37.5≤n≤42．（9分）
∵点Q的坐标为正整数，
∴点Q的坐标为（26，26），（28，28）．
点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2. （2011?郴州）求与直线y=x平行，并且经过点P（1，2）的一次函数的解析式．
考点：两条直线相交或平行问题。
专题：计算题。
分析：平行于直线y=x，则k=1，再根据待定系数法求解即可．
解答：解：根据题意，设一次函数解析式为y=kx+b，
∵与直线y=x平行，∴k=1，
由点P（1，2）得：1+b=2，
解得：b=1，
∴函数解析式为：y=x+1，
所以一次函数的解析式为：y=x+1．
点评：本题主要考查两条直线相交或平行问题，难度不大，掌握用待定系数法求函数解析式，根据平行得到k=1是解本题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为
（1）画出 ，并求出 所在直线的解析式.

（2）画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，并求出 在上述旋转过程中扫过的面积.
考点：作图－旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；扇形面积的计算．
分析：（1）利用待定系数法将A（－1，2），C（－2，9）代入解析式求出一次函数解析式即可；
（2）根据AC的长度，求出S＝S扇形＋S△ABC，就即可得出答案．
解答：（1）如图所示， 即为所求.
设 所在直线的解析式为

∵ ，
∴ 解得 ， ∴ .
（2）如图所示， 即为所求.
由图可知， ， = .
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及扇形面积求法，得出扇形面积等于
S＝S扇形＋S△ABC是解决问题的关键．
4. 2011福建福州，19，12分）如图，在平面直角坐标系中，A．B均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；
（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若直线BC的函数解析式为y=kx+b，则y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）．

考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与几何变换．
分析：（1）根据一次函数图象知A（1，0），B（0，2），然后将其代入一次函数的解析式，利用待定系数法求该函数的解析式；
（2）根据旋转的性质，在答题卡中画出线段BC，然后根据直线BC的单调性填空．
解答：（1）设直线AB的函数 解析式为y=kx+b，依题意，得A（1，0），B（0，2）∴
解得 ，∴直线AB的函数解析式为y=?2x+2，当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1．
（2）线段BC即为所求．增大

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式．一次函数图象与几何变换．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得形象．直观，降低了题的难度．
5. （2011浙江绍兴，21，10分）在平面直角坐标系中．过一点分?作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分?作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=?x+b（b为常数）上，求a，b 的值．

考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：（1）计算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可；
（2）当a＞0时，根据（a+3）×2=3a，求出a，进一步求出b；当a＜0时，根据（?a+3）×2=?3a求出a进一步求出b．
解答：（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），
∴点M不是和谐点，点N是和谐点．

（2）解：由题意得：当a＞0时，（a+3）×2=3a，
∴a=6，
点P（a，3）在直线 y=?x+b上，代入得：b=9
当a＜0时，（?a+3）×2=?3a，
∴a=?6，
点P（a，3）在直线y=?x+b上，代入得：b=?3，
∴a=6，b=9或a=?6，b=?3．
点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，理解题意并根据题意进行计算是解此题的关键．
6. （2011湖州，19，6分）已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点．
（1）求k，b的值；
（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征.
分析：（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出a的值．
解答：解：（1）由题意，得 解得 ∴k、b的值分别是1和2；
（2）由（1）得y＝x+2，∴当y＝0时，x＝－2，即a＝－2．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴交点求法，此题比较典型应熟练掌握．
7. （2011?铜仁地区19,10分）（2）已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（1，1），B（2，?1），求这个函数的解析式．
分析：（2）将A（1，1），B（2，?1）代入函数解析式，解方程组即可求得k与b的值，则可得这个函数的解析式．
（2）根据题意得： ，
解得： ，
∴函数的解析式是：y=?2x+3
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
　　一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图14－111所示，饮水桶中的水由图①的位置下降到图②的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象是(如图14－112所示) ( )

　　2．一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，则下列说法正确的是 ( )
　　 A．k＞0，b＞0 　　　　　　　 B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0 　　　　　　　 D．k＜0，b＜0
3．小明从家走了10分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸，然后用了15分钟沿原路回到家，下列图象中能表示小明离家距离y(米)与时间x(分)关系的是(如图14－113所示) ( )

　　4．直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点如图14－114所示，当y＜0时，x的取值范围是 ( )
　　 A．x＞2 　　　　　　　　　　 B．x＜2
　　 C．x＞－1 　　　　　　　　　 D．x＜－1

5．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图14－115所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是 ( )
　 A．当月用车路程为2000 km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
　 B．当月用车路程为2300 km 时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
　C．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多
　D．甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少
　　6．函数 和 的图象如图14－116所示，当y1＞y2时，x的取值范围是 ( )
　　A．x＜－1 　　　　　　　　　 B．－1＜x＜2
　　 C．x＜－1或x＞2 　　　　　 D．x＞2
　　7．已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12．则k的值为 ( )
A．1或－2 B．2或－1 C．3 D．4
8．如图14－117所示反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．如果菜地到玉米地的距离为a千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b分钟，则a，b的值分别为 ( )

A．1．1，8 B．0．9，3 C．1．1，12 D．0．9，8
9．函数y＝－x与函数y＝x＋1的图象的交点坐标为 ( )
　 A． B．
　 C． D．
10．函数y＝ax＋b①和y＝bx＋a②(ab≠0)在同一平面直角坐标系中的图象(如图14－118所示)可能是 ( )

二、填空题(每小题3分，共30分)
11．函数 的自变量x的取值范围是 ．
12．写出一个y随x增大而增大的一次函数的解析式 ．
13．一根弹簧原长为12 cm，它所挂物体的质量不能超过15 kg，并且每挂1 kg物体就伸长 cm．则挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
14．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则它的解析式可以为　　 　．
　　15．已知直线y＝kx＋b过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若k＜0，且x1＜x2，则y1　　　　y2．(填“＞”或“＜”)
16．(天津中考)已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，则该函数的图象与y轴交点的坐标为　　　 ．
17．在平面直角坐标系中，将直线y＝－2x＋1向下平移4个单位长度后，所得直线的解析式为 　　　 ．
18．如图14－119所示的是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快．其中正确的有　　　 (填序号)．

　　19．如图14－120所示，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式组 ＞kx＋b＞－2的解集为　 　 ．
20．用棋子按如图14－121所示的方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n－1)个图形多　　 　枚棋子．

　　三、解答题(第21～23小题各8分，第24～26小题各12分，共60分)
　　21．我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃，某时刻，益阳地面温度为20℃．设高出地面x千米处的温度为y℃．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少摄氏度；
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34℃，求飞机离地面的高度为多少千米．
　　22．如图14－122所示，在平面直角坐标系中，一条直线l与x轴相交于点A(2，0)．与正比例函数y＝kx(k≠0，且k为常数)的图象相交于点P(1，1)．
(1)求k的值；
(2)求△AOP的面积．
23．已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3．
(1)求一次函数的解析式；
(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．
24．一列长为120米的火车匀速行驶，经过一条长为160米的隧道，从车头驶入隧道入口到车尾离开隧道出口共用14秒．设车头驶入隧道入口x秒时，火车在隧道内的长度为y米．
　 (1)求火车行驶的速度；
　 (2)当0≤x≤14时，求y与x的函数关系式；
(3)在如图14－123所示的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象．
25．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁．图14－124中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题．
　 (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米／分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?
26．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间的函数关系的图象如图14－125所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5．5万元．(销售利润＝(售价－成本价)×销售量)
请你根据图象(如图14－125所示)及加油站五月份该油品的所有销售记录(如图14－126所示)提供的信息，解答下列问题．

　　(1)求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
(2)分别求线段AB与BC所对应的函数关系式；
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)

参考答案
1．C[提示：由图①到图②的过程中，水减少的体积是均匀变化的，随着水位下降高度的增加，水减少的体积也逐渐增加．]　
2．A　
3．D［提示：图象上的数要和题目中的条件对应．]　
4．B[提示：y＜0时，图象处于x轴的下方，对应的x的值小于2．]
5．D[提示：由图象知，选项A，B都正确，由于直线y1比y2上升得快，所以除去月固定租赁费，甲公司每公里收取的费用比乙公司多．]
6．C［提示：y1＞y2时，y1的图象在y2图象的上方，即x＜－1或x＞2．]
7．A[提示：当直线y＝kx－3与y＝－1和y＝3的交点在直线x＝1的左侧时，交点坐标分别为 ， ，则四边形面积为 解得k＝－2．当直线y＝kx－3与y＝－1和y＝3的交点在x＝1的右侧时．四边形面积为 ，解得k＝1．故选A．]　
8．D［提示：由图象可知，菜地和玉米地之间的距离为2－1．1＝0．9(千米)，a＝0．9；小明在菜地浇水的时间为10分钟，在玉米地除草的时间为18分钟，18－10＝8(分)，b＝8．故选D．]　
9．A[提示：解方程组 ]
10．D[提示：因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，故C不正确；从A，B，D的图象分析a，b异号，假设a＞0，b＜0，则直线y＝ax＋b经过第一、三、四象限，直线y＝bx＋a经过第一、二、四象限．]
11．x≥3[提示：根据二次根式和分式有意义的条件知　　 所以x≥3．]
12．y＝x[提示：答案不唯一，只要一次函数关系式中的k＞0即可．]
13． 0≤x≤15
14．y＝x－2[提示：答案不唯一，只要一次函数关系式中的k＞0，b＜0即可．]
15．＞[提示：∵k＜0，∴y随x的增大而减小，又∵x1＜x2，∴y1＞y2．]
16．(0，－1)[提示：由待定系数法可求出过(3，5)和(－4，－9)的直线的解析式为y＝2x－1，直线与y轴的交点坐标为(0，－1)．]
17．y＝－2x－3[提示：直线向下平移，k不变，b减小．]
18．①②④
19．－1＜x＜2［提示：用待定系数法可求出k＝1，b＝－1，不等式组为 ＞x－1＞－2，解不等式组可得－1＜x＜2．]
20．3n－2[提示：第2个图形比第1个图形多(2×3－2)枚，第3个图形比第2个图形多(3×3－2)枚，第4个图形比第3个图形多(4×3－2)枚，…，第n个图形比第n－1个图形多(3n－2)枚．]
21．解：(1)y＝20－6x(x≥0)． (2)500米＝0．5千米，y＝20－6×0．5＝17(℃)．(3)－34＝20－6x，x＝9．
22．解：(1)∵点P(1，1)在正比例函数y＝kx的图象上，∴1＝k×1，∴k＝1． (2)S△POA＝ OA? ＝ ×2×1＝1．
23．解：(1)由已知得－3＝2k－4，解得k＝ ，∴一次函数的解析式为y＝ x－4． (2)将直线y＝ x－4向上平移6个单位后得到的直线是y＝ x＋2．∵当y＝0时，x＝－4，∴平移后的图象与x轴交点的坐标是(－4，0)　
24．解：(1)(120＋160)÷14＝20(米／秒)． (2)当0≤x≤6时，y＝20x；当6＜x≤8时，y＝120；当8＜x≤14时，y＝120＋160－20x＝－20x＋280．∴ (3)如图14－127所示．
25．解：(1)15 (2)由图象可知，s是t的正比例函数，设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，将(45，4)代入得4＝45k，解得k＝ ．∴s与t的函数关系式为 (0≤t≤45)． (3)由图象可知，在30≤t≤45的时段内，小聪离开学校的路程s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n(m≠0)，将(30，4)，(45，0)代入得 解得 ∴ (30≤t≤45)．令 ，解得 ．当　　 时， ．即当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
26．解：(1)根据题意，当销售利润为4万元时，销售量为4÷(5－4)＝4(万升)．答：销售量为4万升时销售利润为4万元．
(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日的利润为5．5－4＝1．5(万元)，所以销售量为1．5÷(5．5－4)＝1(万升)，所以点B的坐标为(5，5．5)．设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx＋b，则 解得 所以线段AB所对应的函数关系式为y＝1．5x－2(4≤x≤5)．从15日到31日共销售5万升，利润为1×1．5＋4×(5．5－4．5)＝5．5(万元)．所以本月销售该油品的利润为5．5＋5．5＝11(万元)，所以点C的坐标为(10，11)．设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx＋n，则 解得 所以线段BC所对应的函数关系式为y＝1．1x(5≤x≤10)．

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