七年级数学上册全册例题精讲及练习题（北师大版）

第二讲 有理数
目标（1）理解有理数的意义,用有理数表示一些有相反意义的数量;
（2）掌握数轴,相反数,绝对值的概念,建立非负数思想.;
（3）理解应用有理数的运算法则准确地进行有理数的运算;
(4) 建立数感,体会数轴模型在数的表示中的重要性,初步形成数形结合的思想.
重点及相应策略能理解并应用有理数解决实际问题,
教学难点及相应策略能利用相反数,绝对值的意义,有理数的运算法则解决问题
教学方法建议讲授法，设问法,举例法,练习矫正法.
第1—2课时
选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业
A类（ 1 ）道（ 6 ）道（ 3 ）道
B类（ 6 ）道（ 5 ）道（ 5 ）道
C类（ 3 ）道（ 2 ）道（ 2 ）道
第3—4课时
选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业
A类（ 3 ）道（ 5 ）道（ 1 ）道
B类（ 5 ）道（ 7 ）道（ 3 ）道
C类（ 3 ）道（ 1 ）道（ 3 ）道
第5—6课时
选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业
A类（ 0 ）道（ 1 ）道（ 1 ）道
B类（ 5 ）道（ 5 ）道（ 5 ）道
C类（ 3 ）道（ 2 ）道（ 3 ）道
第1—2课时 有理数的意义及相关概念
一、知识梳理
1.正、负数的概念
像1、 、1.2，...这样的大于零的数叫做正数;在正数的前面加上" "号的数叫做负数.
0既不是正数也不是负数.
我们常常用正数和负数表示一些相反意义的量.
2.有理数的定义及分类
整数和分数统称为有理数.
有理数的分类：
按符号分:
有理数
按定义分:
有理数
3.数轴：画一条水平的直线，在直线上取一点表示零（叫做原点）选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
（三要素：原点、单位长度、正方向。易混淆点：单位长度可任意选取。）
有理数与数轴的关系：
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。
数轴的判断方法：
要判断是否为数轴，应抓住它的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可。
数轴的表示方法：
数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。
比较大小（数轴）：
数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点进行判断。数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
比较两个负数的大小
三大步骤：（1)先分别写出两负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小。(3)绝对值大的反而小。
有理数大小的比较法则
正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两负数绝对值大的反而小。
4.相反数
代数定义：只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数，这两数也互称为相反数。0的相反数是0。
几何定义： 两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。
5.绝对值
代数定义：一个 正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用式子表示为：
a= 。
几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作“a”。
二、易错知识辨析
1.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置;
2.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为相反数;
3.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是非正数.
4.原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值.
三、课堂精讲例题
例题组1 训练重点:关注零在有理数中的地位,强化有理数是带符号的数的思想.
1.下列说法： ①零是正数 ②零是整数 ③零是最小的有理数 ④零是最小的自然数
⑤零是最大的负数 ⑥零是非负数 ⑦零是偶数
其中正确的说法为（ ）. 难度分级：A类
解析：有理数分为正数、零、负数，整数分为正整数、零、负整数，自然数为零和正整数，偶数的相反数、零也是偶数。故正确的说法为②④⑥⑦。

2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,
其中“+”表示成绩大于18秒,“—”表示成绩小于18秒?这个小组女生的达标率是( )
A．25%B．37.5%C．50%D．75%
难度分级：B类
解析：达标成绩为18秒，即小于等于18秒为达标，以18秒为基准值，得到的有理数中的非负数的成绩达标，所以达标率等于75%，故选D。
3.七名同学的体重以48kg为标准,超过即为正,不足记为负,记录如下
编号1234567
与标准体重的差(kg)-3.0+1.5+0.80+0.3+1.2+0.5
A.最接近标准体重的学生体重是多少?并说明这个有理数的意义.
B.按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?
难度分级：B类
解析：A，最接近标准体重的学生体重为48kg,它表示的有理数为0，其意义为与标准体重的差值为零。
B，按体重排列，由小到大排列为：-3.0,0，+0.3，，+0.5,+0.8,+1.2,+1.5,故居中的是7号学生。
4．观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,并写出第150个数.
(1)1,- , ,- , ,- , ,- ,_______,________,_______,第150个数是________;
(2)1,- ,- ,- , ,- ,- ,- ______,_______,_______,第150个数是________;
(3)1, ,- ,- ,1, ,- ,- _______,_______,_______,第150个数是________.
难度分级：C类
解析：本题主要关注三个部分，数的符号，分式的分子分母的变化。
（1）符号一正一负出现，偶数个数为负，分子均为1，分母为正整数，故答案为 ，
（2）符号四个数一循环，每个循环中第一个数为正，其余三个数为负，分子分母的规律与（1）相同，故答案为 ，
（3） 循环出现，故答案为
搭配课堂训练题
1．如果 表示有理数, 那么下列说法中正确的是（ ）
(A) 和 一定不相等 (B) 一定是负数
(C) 和 一定相等 (D) 一定是正数 难度分级：A类
2.π是（ ）
（A）整数 （B）分数 （C）有理数 （D）以上都不对 难度分级：A类
3.大于?3.5，小于2.5的整数共有（ ）个。
（A）6 （B）5 （C）4 （D）3 难度分级：A类
4.写出三个有理数，使它们满足：①是负数；②是整数；③能被2、3、5整除。答：____________。
难度分级：B类
5.某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：万元）
月份一月二月三月
收入324850
支出121310
请问：(1)该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？
(2)如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？
(3)该公司第一季度利润为多少万元？ 难度分级：B类
例题组2 训练重点:数轴上的点与数的关系,点与点的距离与点的关系,初步形成数形结合的思想
1．数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。 难度分级：B类
解析：原点右边到原点4.8cm处的点表示的数为32，则该点到原点的距离为32个单位长度，则每个单位长度为cm,离原点18cm的点有个单位长度，该点又在原点左边，所以有理数为-120.
2..一数轴上的A点到原点的距离为2.，那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的数
有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 难度分级：B类
解析：数轴上到A的距离相等的点有两个，到这两个点距离相等的点又分别有两个，且距离不相等，所以表示的数有4个。故选D。
3.借助数轴列式回答下列问题
(1)与原点相距 的点表示的数是什么?
(2)与-3相距 的点表示的数是什么?
(3)一个点A表示的数为- ,把A点向左移动2个单位后所得的点对应的数为什么?
(4)两个点A,B分别表示的数为-1， ,有一个点C到这两个点的距离相等,则点C表示的数为什么?
难度分级：C类

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