3.正弦、余弦定理
一、知识点回顾
1．基本公式：
（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos =sin , sin =cos ；
（2）面积公式：S= aha , S= absinC= bcsinA= casinB
S= pr = (其中p= , r为内切圆半径)
2．正弦定理：
利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：
bsinA
3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ；
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
4．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
二、例题讨论：
一）正弦定理的应用
例1、（1）在ΔABC中，已知a= ,b= ,B=45°，求A,C及边c．
（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b 和c；
（3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=
ac-bc，求∠A及 的值.
解：由正弦定理得：sinA= ,因为B=45°<90°且b
所以有两解A=60°或A=120°
(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c= ,
(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=
(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.
（3）解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得cosA= = = ，∴∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sinB= ，∵b2=ac，∠A=60°，∴ =sin60°= .
解法二：在△ABC中，由面积公式得 bcsinA= acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.∴ =sinA= .
二）余弦定理的应用
例2、在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积.
三）三角形中的形状判断
例3、在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）
sin（A+B），判断三角形的形状.
方法一 已知等式可化为
a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］
∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A
由正弦定理可知上式可化为： sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A
∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0
∴sin 2A=sin 2B,由0<2A,2B<2π得2A=2B或2A=π-2B,
即A=B或A= -B,∴△ABC为等腰或直角三角形.
方法二 同方法一可得2a2cos Asin B=2b2sin Acos B
由正、余弦定理,可得∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.
例3、在三角形ABC中，已知 ，给出以下四个判断：（1） ；
（2） ，（3） ，（4）
其中正确的是 ；
解：由已知可得C=900，易知（2）（4）正确；
四）三角形的综合问题
例4、在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.
三、课后作业：《走向高考》P86-87
1.在△ABC中，角A、B、C 所对边长分别为a、b、c,
设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 求角A
和tan B的值.
解 由b2+c2-bc=a2,得
2.在三角形ABC中，a,b,c分别为三内角A，B，C的对边，已知 ，且三角形ABC的外接圆半径为 ，（1）求角C；（2）求三角形ABC面积S的最大值；
解：由已知可得到： ，结合余弦定理可得 ，所以 ；
（2）
所以 ，故当A=B= 时，S有最大值 ；
3.在三角形ABC中，a,b,c分别为三内角A，B，C的对边，若a,b,c成等比数列，
（1）求B的取值范围；（2）求 得取值范围；
解：（1）由已知得：b2=ac，所以 ，所以 ；
（2）
由
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