不等关系
逍遥右脑 2013-07-26 19:31
不等关系
【三维目标】:
一、知识与技能
1.通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;
2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小;
二、过程与方法
1.经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法
2.以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系;
3.通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。
2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量。
【重点与难点】:
重点:(1)通过具体情景,建立不等式模型;
(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小.
(3)掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式;
难点:用不等式(组)正确表示出不等关系;利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学法与用具】:
1. 学法:
2. 教学用具:多媒体、实物投影仪.
【授课类型】:新授课
【课时安排】:1课时
【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较,反映在数量关系上就是相等与不等两种情况,例如:
(1) 某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20人)的团体票8折优惠.那么不足20人时,应该选择怎样的购票策略?
(2)某杂志以每本2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若价格每提高0.2元,发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内?
(3)下表给出了三种食物 , , 的维生素含量及成本:
维生素 (单位/kg)维生素 (单位/kg)[来源:高@考%资*源+#网ZXXK]成本(元/kg)
3007005
5001004
3003003
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品,要使混合食物中至少含35000单位的维生素 及40000单位的维生素 ,设 , 这两种食物各取 kg, kg,那么 , 应满足怎样的关系?
问题:用怎样的数学模型刻画上述问题?
二、研探新知
在问题(1)中,设 人( )买20人的团体票不比普通票贵,则有 .
在问题(2)中,设每本杂志价格提高 元,则发行量减少 万册,杂志社的销售收入为 万元.根据题意,得 ,化简,得 .
在问题(3)中,因为食物 , 分别为 kg, kg,故食物 为 kg,则有 即
上面的例子表明,我们可以用不等式(组)来刻画不等关系.表示不等关系的式子叫做不等式,常用( )表示不等关系.
总结:建立不等式模型:通过具体情景,对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析,找出其中的不等关系,并由此建立不等式.问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题.
三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:假设截得的500mm钢管 根,截得的600mm钢管 根.
根据题意,应有如下的不等关系:
(1)解得两种钢管的总长度不能超过4000mm;
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;
(3)解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系,可得不等式组::
说明:关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件列出不等关系.
例2 某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位;米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.某快餐公司给学生配餐,现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉.设每盒快餐需面食 百克、米饭 百克,试写出 满足的条件.
解: 满足的条件为 .
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言数学符号文字语言数学符号
大于>至多≤
小于<至少≥
大于等于≥不少于≥
小于等于≤不多于≤
例3 比较大小:
(1) 与 ;(2) 与 (其中 , ).
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:(1)
∴ .
(2) ,∵ , ,∴ ,所以 .
说明:不等式 ( , )在生活中可以找到原型: 克糖水中有 克糖( ),若再添加 克糖( ),则糖水便甜了.(浓度= )
例4 已知 比较 与 的大小.
解:
= …………………(*)
①当 时,(*)式 ,所以 ;
②当 时,(*)式 ,所以 ;
③当 时,(*)式 ,所以
说明:1.比较大小的步骤:作差-变形-定号-结论;
2.实数比较大小的问题一般可用作差比较法,其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号.
四、巩固深化,反馈矫正
1.(1)比较 的大小;
(2)如果 ,比较 的大小.
(3)比较 和 的大小
(4)当 、 都为正数且 时,试比较代数式 与 的大小
注意:(3)、(4)是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差??变形??判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要
(5)比较 与 的大小
(6)比较 的大小,其中 .
(7)比较当 时, 的大小.
(8)设实数 满足 的大小关系是_________.
(9)配制 两种药剂需要甲、乙两种原料,已知配一剂 种药需甲料3毫克,乙料5毫克,配一剂 药需甲料5毫克,乙料4毫克。今有甲料20毫克,乙料25毫克,若 两种药至少各配一剂,则 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢?用不等式表示出来.
五、归纳整理,整体认识
1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;通过具体情景,建立不等式模型;
2.比较两实数大小的方法??求差比较法.
六、承上启下,留下悬念
1.比较 与 的大小;
2.已知 且 ,比较 与 的大小.
七、板书设计(略)
八、课后记:
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