代数证明

第二十三讲 代数证明

代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．
在初中阶段，要证的等式一般可分 为恒等式的证明和条件等式的证明．
恒等式的证明常用的方法有：
(1) 由繁到简，从一边推向另一边；
(2)从左右两边人手，相向推进；
(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0， ．
条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．
代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想 的熟练运用．
例题求解
【例1】(1)求证：
（2）求证： ．
思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．
注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．
代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．
【例2】 已知 ，且 ．
求证： ．
(黄冈市竞赛题)
思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x、y与a、b间关系，寻找证题的突破口．
【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用 和 ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．
求证： ．
(天津市竞赛题)
思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键．
【例4】 已知 ，且 ．
求证： ．
思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．
【例5】 已知 ，证明：四个数 、 、 、 中至少有一个不小于6．
(北京市竞赛题)
思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可．
注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有：
(1)将已知条件直接代入求证式；
(2)变换已知条件，再代入求证式；
(3)综合变形巳知条件，凑出求证式；
(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．
不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识：
(1)若A—B>0，则A>B；
(2)若A—B<0，则A (3) ；
(4) （x>0）；
(5) 若 ，则 中至少有一个大于 ．
学力训练
1．已知 ， ，r= ，求证： ．
2．已知 ， ．求证： ．
3．已知： ，求证： ．
4．设 的小数部分为 ，求证： ．
5．设x、y、z为有理数，且(y—z)2+( x－y)2+(z—x)2=(y+z－2x)2+(z+x－2y)2+(x+y—2z)2，求证： ．
(重庆市竞赛题)
6．已知 ，求证：a：b：c=1：2：3．
7．已知 ，求证：x、y、z中至少有一个为1．
8．若 ，记 ，证明：A是一个整数． (匈牙利竞赛题)
9．已知 ，求证： ．
10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证： ．
(天津市 竞赛题)
11．设a、b、c均为正数，且 ，证明： ．
12．如果正数a、b、c满足 ，求证： ．
(北京市竞赛题)
13．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：
①若 ，且 c>1， 则0②若c>1且0③若01．

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