逍遥右脑 2015-05-07 09:10
天津市第四十二中学 张鼎言
6. 如图，已知点F(1，0)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且-?■=-?■
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知-=λ1-，-=λ2-，求λ1+λ2的值。
解(1)P(x，y)，Q(-1，y)，F(1，0)
-=(x+1，0)，-=(2，-y)
-=(x-1，y)，-=(-2，y)
由已知，得y2=4x
抛物线焦点F(1，0)，准线l：x=-1
解(2)lABy=k(x-1)，k存在
-
△=16+16k2>0
y1+y2=-，y1y2=-4
A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-1，-2k)
-=λ1-→y1+2k=-λ1y1，λ1=--
-=(x2+1，y2+2k)
-=(1-x2，1-y2)
→y2+2k=-λ2y2
λ2=--
λ1+λ2=----
=-2-2k(-+-)
=-2-2k?■=0
注：本题的直线过抛物线焦点，但没有抛物线定义.把前5个题与本题比较，直线过焦点且出现距离问题时，前5个题引出的方法适用.
(五)直线与圆锥曲线相交不过焦点
复习导引：
因直线不过焦点又与圆锥曲线相交，设直线方程一般不用两点式，否则会导致推导的复杂性。点在直线或曲线上，点的坐标满足方程看来熟知却容易忽略。
1. 设椭圆-+-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为-OF1。
(Ⅰ)证明a=-b；
(Ⅱ)设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。
(Ⅰ)-+-=1(a>b>0)
A(c，y)
-+-=1，y=-
-=-
→-=-
-=-→2a2-b2=3b2，a2=2b2，∴a=-b
(Ⅱ)由(Ⅰ)
-
-
→(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-b2)=0
△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-b2)>0
2k2b2+b2>m2
x1+x2=--，
x1x2=-
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=---+m2
=-