高三数学试卷[1]

逍遥右脑  2018-09-18 10:33

高三数学试卷(文)
满分150分 考试时间120分钟
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A1,0,1,集合Bx24,则AxB等于 ( )
A.1,0,1 B. 1 C.1,1 D.0,1
a2ai0,则a的值为 ( ) 2.设i是虚数单位,若复数z1i
A.0或1 B.0或1 C.1 D.1
3.

已知命题p:x0R,sinx0命题q:xR,x2x10.则下列结论正确的是 ( )
A.命题是pq假命题 B. 命题是pq真命题
C.命题是(p)(q)真命题 D.命题是(p)(q)真命题
4. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a

2,bA面积为( )
A

B

. C

D

6,则ABC的
ˆ0.76x71. 5.对于下列表格所示的五个散点,已知求得的线性回归方程为y
x
y 98 2 99 3 100 101 102 8 5 m
则实数m的值为 ( )
A.6.8
6. 在区域 B.7 C.7.2 D.7.4 0x1内任意取一点P(x,y) ,则x2y21的概率是( ) 0y1
2424 A. B. C. D. 44447. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 ( )
A. B.2 C.3 D.4
俯视图
7题图

侧视图 8题图
8. 执行如图的程序框图,如果输入的alog32,blog52,clog23,那么输出m的值是 ( )
A.log52 B. log32 C.log23 D.都有可能
9. 已知函数①ysinx

cosx,②yxcosx,则下列结论正确的是( )
A. 两个函数的图象均关于点(
4,0)成中心对称
B. 两个函数的图象均关于直线x
C. 两个函数在区间(4对称 ,)上都是单调递增函数 44
D. 可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像 4
10. 已知直角ABC中,斜边AB6,D为线段AB的中点,P为线段CD上任意一点,则(PAPB)PC的最小值为( ) 99 B.  C.2 D.2 22
11. 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C

直线l与双曲线C交于A,B两点,A. 线段AB中点M在第一象限,并且在抛物线y2px(p0)上,且M到抛物线焦点的距离
为p,则直线l的斜率为( )
31 C.1 D. 22
f(x)12. 设函数f(x)x32ex2mxl

lnx,记g(x),若函数g(x)至少存在一个零点,xA. 2 B.
则实数m的取值范围是( )
A

B

C


第II卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线yx(2lnx1)在点(1,1)处的切线方程为.
x2y2
14. 已知过双曲线221右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲ab
线的离心率e的取值范围是 .
15.设直线x2y10的倾斜角为,则cossin2的值为. 2
16.已知函数f(x)为R上的增函数,函数图像关于点(3,0)对称,若实数x,y满

足f(x29)f(y22y)0,则y的取值范围是 . x
三、解答题:本大题共5小题,共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)已知an为等差数列,数列bn满足对于任意nN,点(bn,bn1)
在直线y2x上,且a1b12,a2b2.
(1) 求数列an与数列bn的通项公式;
(2)若 cn
anbnn为奇数,n为偶数,求数列cn的前2n项的和S2n.18. (本小题满分12分)两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力(如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元)的调查作为社会实践,进行调查统计,将承受能力数按区间[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4[.65.,55,.75.)5](千元)进行分组,得到如下统计图:
(1) 求a的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多少元;
(2)若用分层抽样的方法,从承受能力在[3.5,4.5)与
[5.5,6.5)的居民中抽取5人,在抽取的5人中随机取2
人,求2人的承受能力不同的概率.
19. (本小题满分12分)如图1,ABC,ABAC4,BAC
2
,D为BC的中点,3
DEAC,沿DE将CDE折起至C'DE,如图2,且C'在面ABDE
上的投影恰好是E,连接C'B,M是
C

1
C'B上的点,且C'MMB.
2
(1)求证:AM∥面C'DE; (2)求三棱锥C'AMD的体积.
图1
E
x2y2
20. (本小题满分12分)设椭圆M:2

直线l:x1a的右焦点为F1,
a2
a2a22
O为坐标原点)与x轴交于点A,若OF. 12AF10(其中
(1)求椭圆M的方程;
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2y21的任意一条直径(E、F为
2
直径的两个端点),求的最大值. 21.(本小题满分12分)设函数f(x)
x
ax. lnx(1)若函数f(x)在(1,)上为减函数,求实数a的最小值;
(2)若存在x1,x2[e,e2],使f(x1)f(x2)a成立,求正实数a的取值范围.
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.

(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在ABC中,ABC90,以AB为直径的圆O
交AC于点E,点D是BC边的中点,连接OD交圆O于
点M.
(1)求证: DE是圆O的切线; OB (2)求证:DEBCDMACDMAB.
23.(本小题满分10分)选修4?4:坐标系与参数方程
x2在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为y62t2(t为参数).在极坐标系(与直角2t2
坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为10cos.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为(2,6),求|PA||PB|.
24.(本小题满分10分)选修4?5:不等式选讲 已知函数f(x)m-|x-2|,mR,且f(x2)0的解集为[1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,cR,且
111m,求 za2b3c 的最小值. a2b3c数 学(文科) 答 案

13.xy20 14. 1e 15.
16. 5
17. (本小题满分12分)解:(1)由点(bn,bn1)在直线y2x上,有
bn1
2,所以数列bnbn
是以2为首项,2为公比的等比数列,即数列bn的通项公式为bn2n, 3分 又a1b12,a2b24,则da2a1422,所以数列an是以2为首项,2为公差的等差数列,即数列an的通项公式为an2n; 6分
an
(2) cn
bn
所以S2n
n为奇数,n为偶数,
n(24n2)4(14n)
 (a1a3a2n1)(b2b4b2n)
214
4
2n2(4n1) 12分
3
18. (本小题满分12分)解:(1)由0.10.10.140.45a1,所以a0.21, 2分
平均承受能力x30.140.1450.4560.2170.15.07, 即城市居民的平均承受能力大约为5070元; 5分
(2)用分层抽样的方法在这两组中抽5人, 即[3.5,4.5)组中抽2人与[5.5,6.5)抽3人,
5设[3.5,4.5)组中两人为A1,A2,[5.5,6.5)组中三人为B1,B2,B2,从这人中随机取2人,有
A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共10中,符合两人承受能力不同的
有A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3共6中,所以所求概率为Pɧ

01;
63
. 12分 105
第6 / 10页
19. (本小题满分12分)(1) 证明:过M作MN∥C'D,交BD于N,连接AN,
1于是DNNB,又ABAC4,
22
,D为BC

的中点,所以BAC3
CM
N
E
NB
A
2

B30
,由
C
图1
N
2
AB22N
Bc
,得到,所以ANB120,得AN∥oAsB3ANN

0ED,所以面AMN∥面C'DE,即AM∥面C'

DE;(注:可以在翻折前的图形中证明AN∥ED) 6分
111
C'MMB,VC'AMDVBAMDVMABD,又C'E面ABD,所以M到平

(2)
222
面ABD的距离h2,SABD

所以VMABD
1,即得三棱

锥2
3C'AMD的体积为
12分

20. (本小题满分12分)解:(1)由题设知,A2

,F1
由OF1

2AF1

02解得a26
x2y2
1 4分 所以椭圆M的方程为62
(2)设圆N:x2y21的圆心为N,
2
则PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)NPNFNP1 从而求PEPF的最大值转化为求的最大值.
2
222
xy22
因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0)所以001,即x063y0.
62
22

因为点N0,2,所以NPx0y022y0112


2
2
2
2
因为y0[,所以当y01时,NP取得最大值12 所以的最大值为11 12分
21.(本小题满分12分)解:(1)由已知得x0,x1. 因f(x)在1,+上为减函数,故fx所以当x1,+时,fxmax0.

2分
2
lnx1
lnx
2
,+上恒成立. a0在1
111
,即xe2时,fxmaxa. lnx24111
所以a0于是a,故a的最小值为. 4分
444

(2)命题“若存在x,x[e,e

2] ,使fx1fx2a成立”等价于“当x1,x2e,e2时,
12有

f(x1)minf(x2)maxa.
11
a,∴fxmaxa. 44
1
问题等价于:“当x[e,e2]时,有fxmin”. 6分
4
1
①当a时,由(1),f(x)在[e,e2]上为减函数,
4
由(1),当x[e,e2]时,fxmax则fxmin
e2111
feae2,故a2. 8分
24e24
2
②当a<
1111'
)2a在[e,e2

]时,由于f(x)(
4lnx24'
(?)a0,即a0,f(x)0在[e,e2]恒成立,故f(x)在[e,e2]上为增函数, 于是,f(x)minf(e)eaee
1
,矛盾. 10分 4
第8 / 10页
DMBCAC,DMABDM(ACAB)DM(2OD2OF)2DMDFOABCOE2DBBODAAEOEODDEBCDMAC2ABOBCEODBODFDABF2DEDBAC2ODAB2OFDMDFDE2DBDM2DE
1OD//2AC
(?)a0,即0a
1
,由f'(x)的单调性和值域知, 4
存在唯一x0(e,e2),使f(x0)0,且满足:
当x(e,x0)时,f'(x)0,f(x)为减函数;当x(x0,e2)时,f'(x)0,f(x)为增函数; 所以,fmin(x)f(x0)
x01
ax0,x0(e,e2) lnx04
所以,a
11111111
,与矛盾. 0a
4lnx04x0lne24e244
11
2 12分 24e

的中点,点

的中点,
综上,得a
22.(本小题满分10分) 解:(1)连结OE.∵点∴
,∴ABOD,AEOEOD.∵,∴
,∴


.在,

O
EOD和BOD中,

OEOBEODBOD
OEDOBD90,即OEED.∵E是圆O上一
点,∴DE是圆O的切线. 5分 (2)延长DO交

圆O于点.∵≌
. ∵DE,DB是圆
,∴
C
.∵点是的中点,∴
. ∵
O的切线,∴DEDB.∴

∴圆
的切线, 是圆
的割线,∴
,∴
.∵是
10分
23.(本小题满分10分)
解:(1)由10cos得xy10x0,即(x5)y25. 5分
2
2
2
2
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(3
2222t)(6t)25. 22
即t292t200,由于(92)2420820,可设t1,t2是上述方程的两个实根.
t1t292
所以,又直线l过点P(2,6),
t1t220
可得:|PA||PB||t1||t2|(t1)(t2)(t1t2)92. 10分 24.(本小题满分10分)
解:(1)因为f(x2)m|x|, f(x2)0等价于|x|m, 由|x|m有解,得m0,且其解集为x.
又f(x2)0的解集为[1,1],故m1. 5分 (2)由(1)知
1111,又a,b,cR,由柯西不等式得

a2b3c
∴za2b3c 的最小值为9 . 10分


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