初中数学韦达定理公式证明

　　【—韦达定理公式证明】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此称为韦达定理。

　　韦达定理公式证明

　　由一元二次方程求根公式为：X = 初中学习方法 (-b±√b^2-4ac)/2a

　　(注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0)

　　可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

　　1. X1?X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a

　　所以X1?X2=-b/a

　　2. X1X2= [(-b+√b^2-4ac?÷2a]×[(-b-√b^2-4ac?÷2a]

　　所以X1X2=c/a

　　(补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2=(-b/a)^2-2c/a=(b^2-2c)/(a^2))

　　(扩充)

　　3. X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a

　　又因为X1.X2的值可以互换，所以则有

　　X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】

　　所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a

　　韦达定理推广的证明

　　设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi　(在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)

　　通过系数对比可得：

　　A(n-1)=-An(∑xi)

　　A(n-2)=An(∑xixi)

　　…

　　A0=[(-1) ]×An×ΠXi

　　所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

　　∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

　　…

　　ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

　　其中∑是求和，Π是求积。

　　韦达定理的公式证明过程是个非常漂亮的数学推理过程。

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