机械振动

第八章 机械振动
第一课时知识梳理
一、考点内容与要求
内 容要求说明
弹簧振子，简谐运动，简谐运动的振幅、周期和频率，简谐运动的位移―时间图象
单摆，在小振幅条件下单摆做简谐运动，周期公式
振动中的能量转化
自由振动和受迫振动，受迫振动的振动频率，共振及其常见的应用Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
二、知识结构 定义:生产振动的两个必要条件
描述振动的物理量:振幅A,频率f,周期T。
特征：F回=-kx或a=
周期：T=2π
图象：正弦（或余弦）曲线
能量转化：机械能守恒
弹簧振子：T=2π
单摆：T=2π
振动频率=策动力频率
共振条件：
分组实验：用单摆测定重力加速度
三、本章知识考查特点及高考命题趋势 从近五年来的高考试题来看，直接考查本考点的题目不多，尤其是在综合能力测试中，由于题目的数量和类型的限制，涉及的更小，更多的是在物理单科的测试中，出现了考查振动图像和振动模型的题目。题型多以选择题，填空题等形式出现。
预计单独考查振动图像和振动模型的可能性不大，更多的会与波的图像结合在一起出题，或以振动的物体为物理情景对综合能力的知识进行考查。但也不排除高考中可能出现再次对单摆的周期公式的应用，对振动图像的理解类的题目。
总之，振动问题要求虽不是很高，但题目内容比较琐碎，复习中要强调细致全面，力求做到切实理解，取得实效。
四、课后练习
1、物体在 附近所做的 运动，叫做机械振动，通常简称为振动。力的方向跟振子偏离 的位移方向相反，总指向 ，它的作用是使振子能返回 ，所以叫做回复力。
2、胡克定律：在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的 跟振子偏离 的位移成正比，这个关系在物理学中叫做胡克定律，通常用公式表示为 ，式中的常数叫做 系数，简称 。
3、简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的 成正比，并且总指向平衡位置的 作用下的振动，叫做简谐运动。
4、振幅：振动物体离开平衡位置的 距离，叫做振动的振幅。做简谐运动的物体完成一次
所需要的时间，叫做振动的周期，在国际单位制中，周期的单位是 。单位时间内完成的全振动的 ，叫做振动的频率，在国际单位制中，频率的单位是 ，简称 ，符号是 。
5、简谐运动的周期和频率由振动系统 的性质所决定，与振动的 无关，因此又称为振动系统的固有周期和固有频率。
6、简谐运动的 图象通常称为振动图象，也叫振动曲线。理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图象都是 或 曲线。
7、如果悬挂小球的细线的 和 可以忽略，线长又比球的 大得多，这样的装置叫做单摆，单摆是实际单摆的 的物理模型。在 很小的情况下，单摆所受的 与偏离平衡位置的 成正比而 相反，单摆做简谐运动。
8、荷兰物理学家 研究了单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期跟 的二次方根成正式，跟 二次方根成反比，跟 、摆球的 无关，并且确定了如下的单摆周期公 。
9、简谐运动的能量：对简谐运动来说，一旦供给振动系统一定的能量，使它开始振动，由于 守恒，它就以一定的 永不停息的振动下去，简谐运动是一种理想化的振动，实际的振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到 的作用，系统克服 的作用做功，系统的机械能就要 振动的振幅也逐渐 ，直到最后振动就停下来了，这种 逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。
10、用周期性的外力作用于实际的振动系统，使系统持续的振动下去，这种周期性的外力叫做 ，物体在外界 作用下的振动叫做受迫振动，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于 的频率， 跟物体的 频率没有关系。 的频率接近物体的 频率时，受迫振动的 增大，这种现象叫做共振,声音在共振现象通常叫做
。
11、弹簧振子和单摆的周期：
弹簧振子和单摆的运动都属于 ，但它们的周期关系式有很大的区别，弹簧振子的周期公式为 即其周期只取决于弹簧的
和振子的 与其振动的 ，放置的 无关；单摆的周期公式为 ，即其周期只取决于单摆的 和当地的 ，与摆球的 、摆动的 无关，另外需要特别注意的是公式中g 值应为 ，与单摆所处的
有关。
第二课时 机械振动及其图象
一、 考点理解
（一）机械振动
1、械振动
（1）定义：物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动。
（2）产生振动的必要条件：①有回复力存在；②阻力足够小。
（3）回复力的特点
回复力是使物体回到平衡位置的力，它是按力的作用效果命名的，回复力可能是一个力，也可能是一个力的分力，还可能是几个力的合力。回复力的方向始终指向平衡位置，回复力是周期性变化的力。
2、描述振动的物理量
（1）全振动
振动物体的运动状态由振动物体的速度来表征。确定的速度大小和速度方向表征确定的运动状态。振动质点经过一次全振动后其振动状态又恢复到原来的状态。实际上，经过一次全振动后不但振动物体的速度大小和方向回复到原来的状态，振动物体的加速度大小和方向、振动物体的位移大小和方向也恢复到原来的状态。
（2）位称 ：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量,其最大值等于振幅。
（３）振幅
　即振动质点离开平衡位置的最大距离，常用符号Ａ表示。振幅是标量，是表示质点振动强弱的物理量。
（４）周期
　即振动质点经过一次全振动所需的时间，常用符号Ｔ表示。周期是表示质点振动快慢的物理量。简谐运动的周期与振幅无关。
（５）频率
　即一秒钟内振动质点完成全振动的次数，常用符号f来表示。周期和频率的关系是：f＝ ，因此，频率同样是描述质点振动快慢的物理量。
　３、简谐运动
（1）物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动叫简谐运动。
（2）回复力F和加速度a与位移x的关系：
F=- , a=
注意：①“―”号表示回复力的方向与位移方向相反，即总是指向平衡位置。
②k是比例系数，不能理解成一定是弹簧的劲度系数，只有弹簧振子，才等于劲度系数。
③判断一个振动是否为简谐运动，可从两方向考虑；a.回复力大小与位移大小成正比。
b.回复力方向与位移方向相反
④机械振动不一定是简谐运动，简谐运动是最简单、最基本的振动。
（3）简谐运动的位移 、回复力F、加速度a、速度υ都随时间做正弦（或余弦）式周期性变化，变化周期为T；振子的动能Ek、系统的势能Ep也做周期性变化，周期为 ，但总机械能守恒。
（4）简谐运动的过程特点
物体
位置位移
回复力F加速度a
方向大小方向大小方向大小
平衡位置O零零零
最大位移处M由O指向MA由M指向OkA由M指向O
O→M由O指向M零→A由M指向O零→kA由M指向O零→
M→O由O指向MA→零由M指向OkA→零由M指向O →零
物体
位置速度υ势 能
动 能
方向大小
平衡位置O
零
最大位移处M零
零
O→M由O
向M →零
零→
→零
M→O由M
指向O零→
→零
零→
（5）简谐运动的对称性、多解性
①简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在
运动上是一个变加速度的运动,质点运动相同的路程所需的时间不一定相同；它是一个周期性的运动，若运动的时间与周期的关系存在整数倍的关系，则质点运动的路程就不会是唯一的。若是运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性，若不是具备以上条件，质点运动的路程也是多解的，这是必须要注意的。
②简谐运动的对称性：做简运动的质点，在距平
衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，在O点左右相等的距离上的运动时间也是相同的。
（二）简谐运动的图象
（１）简谐运动的图象的物理意义
　　简谐运动的图象表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹。
　　（２）简谐运动的图象的特点所有简谐运动的振动图象都是正弦（或余弦）曲线。
（３）简谐运动的图象的
作图法
用横轴表示时间，纵轴
表示位移，根据实际数据定
出坐标单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移
大小和方向画出一系列的点，
再用平滑的曲线连接这些点，得到周期性变化的正弦（或余弦）曲线。如右上图所示。
（4）简谐运动的图象的应用
①从振动图象可直接读出振幅A、周期T及某时刻t对应的位移 。
②判定质点在某时刻t的 、a、F的方向。
③判定某段时间内振动物体的 、a、F的大小变化及动能、势能的变化情况。
二、方法讲解 １、计算简谐运动路程的4倍振幅法
做简谐运动的质点在振动时间为△t= （n=1、2、3……）内，质点振动通过的路程为S为：
S=4. A（A为振幅）
２、根据简谐运动图象分析简谐运动的情况的基本方法。
简谐运动图象能够反映简谐运动的规律，因此将简谐运动图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。
（1）从简谐运动图象可以直接读出不同
时刻t的位移值，从而知道位移 随时间t的变化情况。
（2）在简谐运动图象中，用做曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与 轴正方向夹角小于90时，速度与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时速度越大。当切线与x轴正方向的夹角大于90时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大，表明此时的速度越小。
（3）由于a=- x，故可根据图象上各个时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况，同样，只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况。
三、考点应用 例1：一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下
列说法正确的是（ ）
Ａ、若t时刻和（t+ t）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则 一定等于Ｔ的整倍数
Ｂ、若t时刻和（t+ t）时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则 t一定等于 的整倍数
Ｃ、若 t＝Ｔ，则在t时刻和（t+ ）时刻振子运动的加速度一定相等
Ｄ、若 t＝ ，则在t时刻和（t+ ）时刻弹簧的长度一定相等
分析：根据题意，画出示意图，如下图对选项A，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，设为P，并不能说明这两个时刻振子的运动方向一定相同， t可以是振子由P向B再回到P的时间，故认为 t一定等于T的整数倍是错误的。
对选项B，振子两次到P的位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定 t等于 的整数倍，选项B也是错误的。
在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C是正桷的。
相隔 的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置可位于 处，如上图所示，在P处弹簧处于伸长状态，在 处弹簧处于压缩状态，弹簧长度并不相等，选项D是错误的。
答案：C
点评：做简谐运动的弹簧振子的运动具有往复性、对称性和周期性，正确理解弹簧振子做简谐运动过程的特点，是判断此类问题的关键。
例2：如右图所示，质量为m的物体放在弹簧上，弹簧在竖直方向做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物重的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是 ，欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅不能超过 。
分析：本题中弹簧的弹力与重力的合力充当回复力，注意应用简谐运动的对称性进行分析求解。
解答：弹簧的弹力与重力的合力充当物体做简谐运动的回复力F。在振动的最低点处，物体对弹簧压力最大为 =1.5mg，设向下为正方向，对物体有：F1=mg- =- A；在振动的最高点处，物体对弹簧压力最小为 ，有 =m g- = A则 =m g- A=2mg- =0.5mg。
物体振动到最高点处，若刚好不脱离弹簧，则对弹簧压力为零，重力成为回复力，有F=mg= ,又F=mg- = A,即F=0.5mg= A，得 =2A。
答案：0.5mg；2A。
点评：在振动的最低点处向上的合力最大，加速度向上，物体处于超重状态，且加速度最大，所以物体对弹簧的压力最大。同理，在最高点时合力向下，加速度向下最大，且失重，所以压力最小。
振动到最高处刚好不脱离，则弹簧为原长。
例3：把弹簧振子的小球拉离平衡位置后轻轻释放，小球便在其平衡位置两侧做简谐运动，若以 表示小球被拉平衡位置的距离，则（ ）。
A、小球回到平衡位置所需的时间随 的增大而增大
B、小球回到平衡位置所需的时间与 无关
C、小球经过平衡位置时的速度随 的增大而增大
D、小球经过平衡位置时的加速度随 的增大而增大
分析：弹簧振子做简谐运动的周期T等于该装置的固有周期，只由振子的质量和回复力系数决定，与其他因素无关，从最大位移处回到平衡位置需要 时间，不随 而改变，选项A错误，B正确。弹簧振子做简谐运动时机械能守恒， 越大，系统弹性势能越大，到达平衡位置时动能也越大，速度也越大，选项C正确，在平衡位置时回复力为零，加速度为零，选项D错误。
答案：BC
点评：小球拉离平衡位置的距离等于振幅的大小，本题振幅A= ，弹簧振子的固有周期与振幅无关。
例4：某质点做简谐运动的图象如右图所示，那么在t、t、t、t时刻，质点动量相同的时刻是 ，动能相同的时刻是 ，加速度相同的时是 。
分析：利用简谐运动图象的物理意义分析求解。
解答：由于四个时刻位移大小均为a ,则四个位置关于平衡位置对称，质点在四个时刻速度大小相同，四个时刻的动能相同；t与t时刻质点都沿x轴正方向运动，则t1与t4时刻动量相同；t2和t3时刻质点都沿x轴负方向运动，则t与t时刻动量也相同； 和t时刻及t和t时刻的位移都分别相同，则 和t时刻加速度相同，t与t时刻加速度相同，但 和 时刻的加速度与t和t时刻加速度大小相等，方向相反。
所以，动量相同的时刻为t与t或t与t；动能相同的时刻为t、t、t和t；加速度相同的时刻为t、t（或t、t）。
点评：简谐运动图象上偏离平衡位置位移大小相同的点，振动物体具有相同的动能和势能，所受回复力和加速度的大小也相同。对于简谐运动图象题，要注意利用图象的特点进行分析。
四、课后练习
1、（2003?临汾）如右图所示，是一弹簧振子，设向右方向为正，O为平衡位置，则（ ）
A、A→O时，位移为负值，加
速度为负值
B、O→B时，位移为正值，加
速度为负值
C、B→O时，位移为负值，速度为负值
D、O→A时，位移为负值，加速度为正值
2、（2004?天律）如右图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点，已知OC=h，振子的周期为T，某时刻物体恰经过C点并向上运动，则从此时刻开始的半个周期时间内（ ）
A、重力做功2mgh
B、重力的冲量大小为
C、回复力做功为零
D、回复力的冲量为零
3、（2004?天津）公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T，取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t=0，其振动图象如右图所示。则（ ）
A、t= T时，货物对车厢底板的压力最大
B、t= T时，货物对车厢底板的压力最小
C、t= T时，货物对车厢底板的压力最大
D、t= T时，货物对车厢底板的压力最小
4、（2004?江苏）如下图①中，
波源S从平衡位置y=0开始振动，运动方向竖直向上（y轴的正方向），振动周期T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为 =80 m/s，经过一段时间后，P、Q两点开始振动，已知距离SP=1.2 m，SQ=2.6 m，若以Q点开始振动的时刻作为计时零点，则在下图②的振动图象中，能正确描述P、Q两点振动情况的是（ ）
Ａ、甲为Q点的振动图象 Ｂ、乙为Q点的振动图象
Ｃ、丙为P点的振动图象　Ｄ、丁为P点的振动图象
5、（2004?湖北）如右图所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧劲度系数为k，开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧A处， 此时拉力大小为F，然后释放
振子从静止开始向左运动，经过时间t 后第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为 ，在这个过程中振子的平均速度为（ ）
A、0 Ｂ、 Ｃ、
Ｄ、不为零的某值，但由题设计条件无法求出
第三课时 单摆 受迫振动 共振
考点理解 （一）两种简谐运动类型
1、水平弹簧振子
（1）回复力的来源：弹簧的弹力充当回
复力，表达式为F=-kx，其中K为弹簧的劲度系数。
（2）能量转化关系：不计
阻力的情况下，振子的动能和弹簧的弹性势能相
互转化，总能量保持不变。
2、单摆
（1）单摆（理想化模型）
如右下图所示悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略。线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。
（2）当单摆的最大摆角小
于10时， 单摆的振动近似为简谐运动。
（3）单摆的振动过程中，回复力由重力沿速度方向的分力提供。
如右上图所示当摆球运动到
任一点P时重力沿速度方向分力G=mgsinθ，在θ＜10时，sinθ≈ ，所以回复力F=- 。
故单摆在θ＜10时振动近似为简谐运动。
（4）单摆的周期T=2
①上式中只适用于小摆角（θ＜10）的情况下。
②式中的单位为m，T的单位为s。
③单摆的振动周期在振幅较小的条件下，与单摆的振幅无关，与摆球的质量也无关。（单摆的等时性）
④摆长是悬点到摆球球心之间的距离，公式中的L应理解为等效摆长。
⑤g与单摆所处物理环境有关，g为等效重力加速度。
（i）不同星球表面，g=GM/r，式中r为星球表面半径。
（ii）单摆处于超重或失重状态等效重力加速度为 = ±a，如在轨道上运动的卫星a= ，完全失重，等效重力速度g=0.
无论悬点如何运动或还是受别的作用，等效g的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力F与摆球质量的比例，即等效重力加速度g=F/ m。
（5）应用：①测重力加速度g=4


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