乘法公式

§15．2 完全平方公式（一）
目标
（一）知识点
1．完全平方公式的推导及其应用．
2．完全平方公式的几何解释．
（二）能力训练要求
1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．
2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
（三）情感与价值观要求
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．
教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
教学难点 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
教学方法
自主探索法
有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的目的．
教具准备 投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们探究下列问题：
（出示投影片）
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
[生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．
[师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
[生]可以．我们知道a2=a?a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
[师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
（出示投影片）
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m?2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p?（-1）+（-1）?p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m?（-2）+（-2）?m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我还发现（1）结果中的2p=2?p?1，（2）结果中4m=2?m?2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
（出示投影片）
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？

[生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
[生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
[生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a?b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
[师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
应用举例：
出示投影片：
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y- ）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
[例1]解：
（1）（4m+n）2=（4m）2+2?4m?n+n2
（a+b）2=a2+2?a?b+b2
=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y- ）2=y2-2?y? +（ ）2
（a-b）2=a2-2?a?b+b2
=y2-y+
方法二：（y- ）2
=[y+（- ）]2=y2+2?y?（- ）+（- ）2
（a+b）2=a2+2?a?b+b2
=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2?（-a）?b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
从（3）、（4）的计算可以发现：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
[师]请同学们总结完全平方公式的结构特征．
[生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
[师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
Ⅲ．随堂练习
课本练习1、2．
Ⅳ．课堂小结（略）
Ⅴ．课后作业
课本习题2、4、7题．

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